数一 | GXBLOGS

选填都五分一题，大题12分一题，除了高数第一大题10分

↓↓↓高数：

86分
选择 5分*4；
填空 5分*4；
计算题 10分*1+12分*3

每天一遍，不信记不住

一、等价无穷小代换、无穷大量比较

$\begin{align} & x\sim\sin x\sim \tan x\sim\arcsin x\sim \arctan x \nonumber\\ & x \sim \ln(1+x)\sim e^x-1\nonumber\\ & (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\;\;{\color{Tan} 推广:} 若\alpha(x)\to0,\alpha(x)\beta(x)\to0,则(1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1\sim\alpha(x)\beta(x)\nonumber\\ & 1-\cos ^\alpha x\sim\frac\alpha2x^2\nonumber\\ & a^x-1\sim x\ln a\nonumber\\ \nonumber\\ & x-\sin x\sim \frac{x^3}6\;\;{\color{Tan}\underleftarrow{ x=\sin x} } \;\;\arcsin x-x\sim \frac{x^3}6\nonumber\\ & \tan x -x\sim\frac{x^3}3\;\;{\color{Tan} \underleftarrow{x=\tan x}} \;\;x-\arctan x\sim\frac{x^3}3\nonumber\\ & x-\ln(1+x)\sim\frac{x^2}2\nonumber \end{align}$

$\begin{align} &(1) 当x\to +\infty时，\ln^{\alpha}x \ll x^\beta \ll a^x(其中\alpha>0,\beta>0,a>1) \nonumber \\ &(2) 当n\to\infty 时，\ln^\alpha n \ll n^\beta \ll a^n\ll n!\ll n^n(其中\alpha>0,\beta>0,a>1)\nonumber \end{align}$

二、求导公式

$\begin{alignat*}{2} & {\color{Tan} (1)} \;(C)'=0 &&{\color{Tan} (2)} \;(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} \nonumber\\ & {\color{Tan} (3)} \;(a^x)'=a^x\ln a &&{\color{Tan} (4)} \;(e^x)'=e^x \nonumber\\ & {\color{Tan} (5)} \;(\log_ax)'=\frac1{x\ln a} &&{\color{Tan} (6)} \;(\ln|x|)'=\frac1x \nonumber\\ & {\color{Tan} (7)} \;(\sin x)'= \cos x&&{\color{Tan} (8)} \;(\cos x)'= -\sin x \nonumber\\ & {\color{Tan} (9)} \;(\tan x)'=\sec^2x &&{\color{Tan} (10)} \;(\cot x)'=-\csc^2 x \nonumber\\ & {\color{Tan} (11)} \;(\sec x)'=\sec x\tan x &&{\color{Tan} (12)} \;(\csc x)'=-\csc x\cot x\nonumber\\ & {\color{Tan} (13)} \;(\arcsin x)'= \frac1{\sqrt{1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&{\color{Tan} (14)} \;(\arccos x)'= -\frac1{\sqrt{1-x^2}}\nonumber\\ & {\color{Tan} (15)} \;(\arctan x)'= \frac1{1+x^2}&&{\color{Tan} (16)} \;(\textnormal{arccot}\;x)'= -\frac1{1+x^2}\nonumber \end{alignat*}$

三、基本积分公式

$\begin{alignat*}{2} & {\color{Tan} (1)} \int x^\alpha dx = \frac1{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C \;\;(\alpha\ne-1)&&{\color{Tan} (2)} \int \frac1xdx= \ln|x|+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (3)} \int a^xdx= \frac{a^x}{\ln a}+C\;\;(a>0,a\ne1) &&{\color{Tan} (4)} \int e^xdx= e^x+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (5)} \int \sin xdx= -cos+C &&{\color{Tan} (6)} \int \cos xdx= \sin x+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (7)} \int \sec^2 xdx= \tan x+C\; &&{\color{Tan} (8)} \int \csc^2xdx= -\cot x+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (9)} \int \sec x\tan xdx= \sec x+C &&{\color{Tan} (10)} \int \csc x\cot xdx= -\csc x+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (11)} \int \sec xdx= \ln|\sec x+\tan x|+C &&{\color{Tan} (12)} \int\csc x dx=-\ln|\csc x+ \cot x| +C \nonumber\\ & {\color{Tan} (13)} \int \frac{dx}{a^2+x^2}= \frac1a\arctan \frac xa+C &&{\color{Tan} (14)} \int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac1{2a}\ln|{\frac{a+x}{a-x}}| +C \nonumber\\ & {\color{Tan} (15)} \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= \arcsin \frac xa+C &&{\color{Tan} (16)} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (17)} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}= \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \;\;\;\;\;\;\;\; \nonumber \end{alignat*}$

四、几个常用的展开式

$\begin{alignat*}{4} & {\color{Tan} (1)} \;\;\frac1{1-x}&&=\sum^\infty_{n=0} x^n &&= 1+x+x^2+···+x^n+···&&\;\;(-1\lt x\lt1)\nonumber\\ & {\color{Tan} (2)} \;\;\frac1{1+x}&&=\sum^\infty_{n=0} (-1)^nx^n &&= 1-x+x^2-···+(-1)^nx^n+···&&\;\;(-1\lt x\lt1)\nonumber\\ & {\color{Tan} (3)} \;\;\;\;\;e^x&&=\sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!}&&= 1+x+\frac{x^2}{2!}+···+\frac{x^n}{n!}+···&&\;\;(-\infty\lt x\lt+\infty)\nonumber\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;e^{-x}&&=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^nx^n}{n!}&&= 1-x+\frac{x^2}{2!}-···+\frac{(-1)^nx^n}{n!}+···&&\;\;(-\infty\lt x\lt+\infty)\nonumber\\ & {\color{Tan} (4)} \;\;\;\sin x&&=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}&&= x-\frac{x^3}{3!}+···+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+···&&\;\;(-\infty\lt x\lt+\infty)\nonumber\\ & {\color{Tan} (5)} \;\;\;\cos x&&=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}&&= 1-\frac{x^2}{2!}+···+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+···&&\;\;(-\infty\lt x\lt+\infty)\nonumber\\ & {\color{Tan} (6)} \ln(1+x)&&=\sum^\infty_{ {\color{Red} n=1} } \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n} &&= x-\frac{x^2}2+···+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+···&&\;\;(-1\lt x {\color{Red} \le} 1)\nonumber\\ & \;\;{\color{Red} -}\ln(1-x)&&=\sum^\infty_{ {\color{Red} n=1} } \frac{x^{n}}{n} &&= x+\frac{x^2}2+···+\frac{x^n}{n}+···&&\;\;(-1 {\color{Red} \le} x\lt1)\nonumber \end{alignat*}$

$\begin{align} {\color{Tan} (7)} \;(1+x)^\alpha&=\sum^\infty_{n=0} \frac{\alpha(\alpha-1)···(\alpha-n+1)}{n!}x^n\nonumber\\ &= 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2-···+\frac{\alpha(\alpha-1)···(\alpha-n+1)}{n!}x^n+···\;\;(-1\lt x\lt1)\nonumber\\ & 端点要单独看，不然会扣分 \nonumber \end{align}$

结论技巧总结

from 660

660 113题

$\begin{align} &\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]a=1,a\gt0 \nonumber\\ &\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]n=1 \nonumber\\ &\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac 1e \nonumber \end{align}$

高数讲义p33

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+…+a_m^n}=max\{a_i\},a_i>0\;(1\le i\le m)\nonumber$

去绝对值，去max{}、min{}

660 116题

$|▅|$ ，做辅助线 $▅=0$ ，求导时可以令其为 $\sqrt{▅^2}$

$max\{□,△\}$ 、 $min\{□,△\}$ ，做辅助线 $□=△$

然后分开算

660 275题

二重积分：注意可以将里面当做函数，这样可以使用一重的方法

例如分部积分： $\int^{…}_{…} dy\int^{g(x)}_{…} f(x)dx=y\int^{…}_{…} f(x)dx|^{…}_{…}-\int ^{…}_{…}yd[\int^{g(x)}_{…} f(x)dx]$

660 205题

解三角函数的方程，角度是不常规的

画三角形，然后sin，cos，tan都变成a的表达式，计算出a即可

from 880

若 ${x_n}$ 和 ${y_n}$ 无界，则 ${x_ny_n}$ 无界错

解析：取 $x_n=n[1+(-1)^n],y_n=n[1-(-1^n)]$

p7 第4题

关于 $f(x)=\varphi(x)|x-x_0|$ 在 $x_0$ 处是否可导的问题？

若 $\varphi(x_0)=0$ ，可导
若 $\varphi(x_0)\ne0$ ，不可导

p8 第16题

$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+…+x+1)$

p10 第16题
费马定理（常用于证 $f(\xi)=0$ ( $\xi$ 为可导的极值点)）

$\text { 设 } f(x) \text { 满足在 } x_0 \text { 点处 }\left\{\begin{array}{l} \text { (1) 可导, } \\ \text { (2)取极值, } \end{array} \text {, 则 } f^{\prime}\left(x_0\right)=0\right. \text {. }$

几个算不出来的积分

$\int e^{\sin x}dx$

$\int e^{ax^2}dx$

$\int{\frac{\sin x}{x}dx}$

$\int{\frac{\cos x}{x}dx}$

p21 第13题

from 个人

三角函数的求积分问题

$\int \sin\theta\,\cos\theta\,d\theta = \frac12\int d\sin^2\theta$
$\int \sin\theta\,\cos\theta\,d\theta = -\frac12\int d\cos^2\theta$

-3次： $\int\frac1{\cos^3\theta}d\theta=\int\frac1{(1-\sin^2\theta)^2}d\sin\theta$
$\Rightarrow \int{(\frac1{1-x^2})^2}dx=\frac14\int(\frac1{1+x}+\frac1{1-x})^2dx=\frac14\int[\frac1{(1+x)^2}+\frac1{1+x}+\frac1{1-x}+\frac1{(1-x)^2}]dx$

-1次： $\int\frac1{\cos\theta}d\theta=\int\frac1{1-\sin^2\theta}d\sin\theta$

2次： $\int \cos^22\theta d\theta$ 、 $\int \sin^22\theta d\theta$ 解法：半角公式降幂，次数降成1求解

3次： $\int \cos^3\theta d\theta = \int(1 - \sin^2\theta)d\sin\theta$

n次： $\int^{\frac\pi 2}_{0} \sin^n\theta d\theta = \int^{\frac\pi 2}_{0} \cos^n\theta d\theta$ 积分上下限尝试转化为 $\frac\pi 2$ 和0(华里士公式p117)，上下限转化可以借助周期性和奇偶性

杂例1：23年张宇18讲p395 例18.19

$\begin{alignat*}{2} \int_0^1r^5\sqrt{1+4r^2}dr&=\frac1{64}\int_0^\alpha\tan^5 t\sec t\,d\tan t&&——令2r=\tan t\nonumber\\ &=\frac1{64}\int_0^\alpha\tan^5 t\sec^3 t\,dt&&——又\int\tan t\sec t=\sec t\nonumber\\ &=\frac1{64}\int_0^\alpha\tan^4 t\sec^2 t\;d\sec t\nonumber\\ &=\frac1{64}\int_0^\alpha(\sec^2 t-1)^2 \sec^2 td\sec t\;\;\;\;&&——令\sec t=x,求解即可\nonumber\\ &=\frac1{64}\int_1^{\sqrt{5} }(x^2-1)^2 x^2 dx&&——x的范围—画三角形\nonumber \end{alignat*}$

$\begin{align} &\lim_{n\to\infty}a_n=a \Rightarrow \lim_{n\to\infty}|a_n|=|a|\nonumber\\ &\lim_{n\to\infty}a_n=0 \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}|a_n|=0\nonumber \end{align}$

考研中常用的基本不等式

$\begin{align} &①\;\sin x\lt x\lt \tan x\nonumber，x\in(0,\frac\pi2)\\ &②\;\frac{x}{1+x}\lt \ln (1+x)<x，x\in(0,+\infty)\nonumber\\ &③\;1+x\le e^x\nonumber\\ &④\;2ab\le a^2+b^2\nonumber\\ &⑤\;|x\pm y|\le |x|+|y|\nonumber \end{align}$

$\begin{align} |x|&在x=0处不可导;\nonumber\\ x|x|&在x=0处可导;\nonumber\\ x^n|x|&在x=0处n阶可导.\nonumber \end{align}$

为什么有时候题目并没有告知抽象函数f(x)有n阶导数，为什么可以求到n阶？

因为题目一般是 $f^{(n-1)}(x)=…$ ，而右边可以观察是可以导的（讲义p73）

易混淆的点

1、

$\begin{align} &\lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{(1+n)^p}=1,\;\;(p是常数)\nonumber\\ 但&\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(1+n)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac1{(1+\frac1n)^n}=\frac1e\nonumber \end{align}$

无穷级数中的常用结论

$\begin{align} & 绝对收敛\pm条件收敛=条件收敛\nonumber\\ & 绝对收敛\pm绝对收敛=绝对收敛\nonumber\\ & 条件收敛\pm条件收敛=条件收敛\;或\;绝对收敛\nonumber \end{align}$

$\begin{align} & \sum u_n收敛\;\; \underrightarrow{u_n>0}\;\; \sum u^2_n收敛\nonumber\\ & \sum |u_n|收敛\;\; \longrightarrow\;\; \sum u^2_n收敛\nonumber \end{align}$

若幂级数 $\sum▅$ 在 $x=x_0$ 处条件收敛，则该点必为该幂级数收敛区间 $(-R,R)$ 上的端点

无穷级数常用技巧：

有时候 $\sum▅=右边$ ，计算的时候右边可能求不出来，可以考虑右边也化一个 $\sum▅$ 然后整理到左边
傅里叶级数展开时，若 $f(x)$ 有周期性，则可以在任意 $[a, a+T]$ 上展开

泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点

一、本质（相同点）

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

1）用多项式逼近函数
2）用已知点信息表示未知点
3）建立函数与高阶导数的关系

二、不同点

1）条件不同
皮亚诺型余项： $f(x)$ 在点 $x_0$ 有直至n阶的导数
拉格朗日型余项： $f(x)$ 在含有点 $x_0$ 的开区间（a, b）内有n+1阶的导数

2）余项不同
皮亚诺型余项： $R_n(x)=o(x-x_0)^n$ —— 定性：局部（极限，极值）
拉格朗日型余项： $R_n(x)=\frac{f^{(n+1))}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ —— 定量：整体（最值，不等式）

三、使用

何时用？ —— 出现了 $f^{(n)}(x),n\ge2$
用哪个？ —— 看是研究局部性态还是整体性态
$x_0=$ ? —— 导数值信息多的点用

向量代数

角平分线：

$\overrightarrow{AP}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$

解释：两个单位向量的和正好是角平分线

矢径向量：从同一个参考点到待研究点的向量。
例如设参考点是坐标原点O，那么A、B、C的矢径向量分别是向量OA、OB、OC。
所以向量AB = OB - OA = r2 - r1，向量BC = OC - OB = r3 - r2
如果证A、B、C三点共线，只需要证明向量AB和BC的叉乘=0，就是证明(r2-r1)×(r3-r2)=0。

三重积分的几何意义

这个视频不错

几何意义：

定积分：二维平面图形的净面积

二重积分：三维几何体的净体积

三重积分：四维形状的净度量（画不出来的）

物理意义：

定积分：相对密度连续分布的线段净质量

二重积分：相对密度连续分布的平面图形净质量

三重积分：相对密度连续分布的几何体的净质量

补充：

积分学	积分域
定积分	区间
二重积分	平面域 $\iint\limits_{D}d\sigma$
三重积分	空间域 $\iiint\limits_{\Omega}dv$
曲线积分	曲线弧 $\int_L ds$
曲面积分	曲面域 $\iint\limits_\Sigma dS$

对称性 + 奇偶性

考研数学中，区域对称，只有二型线面积分部分是反过来的 “奇倍偶0”，其他都是“偶倍奇0”。

二型线积分：

$\begin{align} &设L关于y轴对称，被积函数关于x考察奇偶性 \nonumber\\ &\iint\limits_L P(x,y){\color{Green} dx} =\begin{cases} 0 \nonumber&P关于x是{\color{Green} 奇} 函数\\ 2\iint\limits_L P(x,y)dx&P关于x是{\color{Green} 偶}函数\nonumber \end{cases}\nonumber\\ &\iint\limits_L Q(x,y){\color{Red} dy} =\begin{cases} 0 \nonumber&R关于x是{\color{Red} 偶} 函数\\ 2\iint\limits_L Q(x,y)dy &R关于x是{\color{Red} 奇} 函数\nonumber \end{cases}\nonumber \end{align}$

二型面积分：

$\begin{align} &设\Sigma关于xOy面对称，被积函数关于z考察奇偶性 \nonumber\\ &\iint\limits_\Sigma P(x,y,z)dy{\color{Green} dz} =\begin{cases} 0 \nonumber&P关于z是{\color{Green} 奇} 函数\\ 2\iint\limits_\Sigma P(x,y,z)dydz&P关于z是{\color{Green} 偶}函数\nonumber \end{cases}\nonumber\\ &\iint\limits_\Sigma Q(x,y,z)dx{\color{Green} dz} =\begin{cases} 0 \nonumber&Q关于z是{\color{Green} 奇}函数\\ 2\iint\limits_\Sigma Q(x,y,z)dxdz&Q关于z是{\color{Green} 偶} 函数\nonumber \end{cases}\nonumber\\ &\iint\limits_\Sigma R(x,y,z){\color{Red} dxdy} =\begin{cases} 0 \nonumber&R关于z是{\color{Red} 偶} 函数\\ 2\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)dxdy &R关于z是{\color{Red} 奇} 函数\nonumber \end{cases}\nonumber \end{align}$

三重积分

线积分挖空题结论：
对于一个线积分，除原点(0,0)外，P、Q有一阶连续偏导数，并且 $\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x},(x,y)\ne(0,0)$ ，那么有两个结论
1、沿任何一条不包含原点的分段光滑闭曲线的积分为0
2、沿任意一条包含原点的分段光滑闭曲线的积分都相等（挖的那个洞）

$1^2+2^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$

$\Gamma$ 函数

【考研数学】Kira小课糖25|10分钟学会伽马函数

称以下函数为伽马函数:

$\Gamma({\color{Red} \alpha})=\int_0^{+\infty}x^{ {\color{Red} \alpha} -1}e^{-x}dx$

伽马函数对于任意的 $\alpha>0$ 收敛

伽马函数形如：

$\Gamma=\int_0^{+\infty} [ {\color{Red} f(x)} ]^ke^{-{\color{Red} f(x) } }d {\color{Red} f(x) }$

积分区域( $f(x)$ )从 $0\sim+\infty$ ，以及 $f(x)$ 一致

伽马函数的性质：
（1） $\Gamma(1)=1$ ， $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$
（2） $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$
（3）由(1)(2)， $\Gamma(n+1)=n!$

简单记：

$\begin{align} &①\,[f(x)]^{\color{Red} k} \to \Gamma({\color{Red} k} +1) \nonumber \\ &②以e^{-{\color{Red} f(x)} }为准，凑两边的{\color{Red} f(x)}\nonumber \end{align}$

具体使用：

$\int^{+\infty}_0\sqrt xe^{-x}dx=\Gamma(\frac12+1)=\frac12\Gamma(\frac12)=\frac{\sqrt\pi}2$
$\int^{+\infty}_0x^3e^{-x}dx=\Gamma(3+1)=3!=6$
$\int^{+\infty}_{-\infty}|x|·\frac1{2\sigma}e^{-\frac{|x|}\sigma}dx=2\int^{+\infty}_{0}x·\frac1{2\sigma}e^{-\frac{x}\sigma}dx=\sigma\int^{+\infty}_{0}\frac x{\sigma}e^{-\frac{x}\sigma}d(\frac x{\sigma})=\sigma\Gamma(1+1)=\sigma$
$\int^{+\infty}_{0}x^3e^{-x^2}dx=\frac12\int^{+\infty}_{0}x^2e^{-x^2}dx^2=\frac12\Gamma(1+1)=\frac12$

易错点

1、y=sin x 的反函数：

若 $x\in(0,\frac\pi2)$ ，则 $y=\sin x$ 的反函数为 $x=\arcsin y\,(y=\arcsin x)$

若 $x\in(\frac\pi2,\frac{3\pi}2)$ ，则 $y=\sin x$ 的反函数为 $x=\pi-\arcsin y\,(y=\pi-\arcsin x)$

若 $x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)$ ，则 $y=\sin x$ 的反函数为 $x=2\pi+\arcsin y\,(y=2\pi+\arcsin x)$

说明：主要是定义域的问题，所以化成一样的问题就好了

$\begin{align} &若x\in(\frac\pi2,\frac{3\pi}2)，\nonumber\\ &\therefore x-\pi\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)\nonumber\\ &\therefore \sin {(x-\pi)=-\sin x=y}\nonumber\\ &\therefore x-\pi=\arcsin (-y)\,,\,即x=\pi-\arcsin y\nonumber\\ \nonumber\\ &若x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)，同理x-2\pi\in(-\frac\pi2,0)\nonumber\\ &……\nonumber \end{align}$

880 p35 第6题

2、累次积分交换积分次序

【例题】交换积分次序： $\int^{\frac32\pi}_{\pi}dx\int^{sinx}_0f(x,y)dy$

【解】首先分析如下图，积分区域是红色部分

$\begin{align} &那不是直接\int^{0}_{-1}dy\int^{\frac32\pi}_{arcsiny}f(x,y)dx?\;\;✘\nonumber\\ &\sin x的反函数错了，那\int^{0}_{-1}dy\int^{\frac32\pi}_{\pi-arcsiny}f(x,y)dx?\;\;✘\nonumber\\ &\mathbf{在交换累次积分的时候要保证两个积分上限均比积分下限大，则:}\nonumber\\ &题目中\sin x比0小，所以先换回来，那么正确应该如下操作:\nonumber\\ &\int^{\frac32\pi}_{\pi}dx\int^{sinx}_0f(x,y)dy=-\int^{\frac32\pi}_{\pi}dx\int_{sinx}^0f(x,y)dy\nonumber\\ &=-[\int^{0}_{-1}dy\int^{\frac32\pi}_{\pi-arcsiny}f(x,y)dx]=\int^{0}_{-1}dy\int_{\frac32\pi}^{\pi-arcsiny}f(x,y)dx\nonumber \end{align}$

题目是没有问题的，定积分上下限谁大谁小都可以；不过就是保证上限大于下限，好用一般方法统一解决。

3、微分方程中加不加绝对值| |的问题

只讨论一阶的，其他都正常加

第一种：

不加的情况（武忠祥）：（应该是有问题的，另一个总结在下面）

题目中可以知道x>0（ $\sqrt x、\ln x$ ）
一阶线性微分方程的通解公式（ $e^{\int -p(x)dx}$ 、 $e^{\int p(x)dx}$ ）
为什么？因为在用常数变易法推导这个公式的时候已经考虑过了

第二种：

这个视频讲的好啊，总结如下：

从最后结果来看，跟积分过程中不加绝对值是一样的.事实上,有很多题目.加了绝对值之后通过讨论，可以去掉。所以，有很多参考书，求解微分方程的时候，直接不加绝对值。那么，是不是所有的绝对值，都能去掉呢? 答案是否定的

先做个知识准备，拓展一下幂函数
幂函数: $y=x^\alpha$
1.当 $x>0$ 时， $\alpha$ 为任意实数，y均有意义
2.当 $x<0$ 时， $\alpha=\frac{n}{2m}$ (其中n和2m 都是整数且互素，这里就是说分母是偶数)，或者a为无理数时，在实数范围内y没有意义（引入复数后就有意义了，但这超出了考研数学的范围，已经一只脚踏入到复变函数了，因此不需要研究) .

可分离变量的微分方程：

★ [结论] 对于可分离变量微分方程，方程中**没有无理常数因子**的时候，可以直接不加绝对值.
为啥“偶数分母”可以呢，乘过去就没了呀

好在考研数学出题人并没有难为我们，翻遍 30 来年的数一二三真题，也没有类似例 1 这样的题目(事实上教材中也很少有这样的题目)所以，很多书上就直接略去绝对值了 (虽然这样不严密)

一阶线性微分方程：

★ [结论] 一阶线性微分方程中，当 $P(x)$ 中没有无理常数因子，也没有偶数的分母时， $\int P(x)dx$ 积分中如果出现了 $\ln$ ，可以直接不写绝对值.

4、无穷级数中的等价代换

首先无穷级数等价无穷小代换，原理是比较法的极限形式（正项级数判定敛散性的5个方法之一）

但是一旦在非正项级数中使用，那就是经典的错误，标准的0分

所以要注意，等价无穷小代换只适用于正项级数

5、平面束方程的易错点

直线 $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$

的平面束方程为 $A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$

但是需要注意的是：这种写法的平面束方程不包含平面 $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ 。
求解过已知直线的问题这么做会比较方便，但是必须要验证 $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ 是否满足条件（660 593题）

或者可以把平面束方程表示为 $\mu(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$

6、只有线面积分可以代入

只有线面积分可以代入，二重三重不能代入

为什么不能代入呢，因为线面积分给的方程就是积分域，被积函数所有点都在积分域上；然而重积分给的是边界，在内部积分，被积函数的点不是全都在边界上，所以不能代入

为什么这里会出问题？ —— 因为线积分用了格林公式变为二重后不能代入，面积分用了高斯公式后变为三重不能代入

【可带的例】（2018 1）设球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_Lxy\,ds$ =?

【解】 $-\frac\pi3$

$\begin{alignat*}{1} 由变量对称性知，\oint_Lxy\,ds&=\frac13\oint_L(xy+yz+zx)\,ds\nonumber\\ &=\frac16\oint_L(2xy+2yz+2zx)\,ds\nonumber\\ &=\frac16\oint_L[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]\,ds \;\;\;\longleftarrow\;代入\nonumber\\ &=\frac16\oint_L(0^2-1)\,ds=\frac16\times-2\pi=-\frac\pi3\nonumber \end{alignat*}$

【不可带的例】计算 $\iiint\limits_{\Omega}(mx+ly+nz)^2dV,\Omega:x^2+y^2+z^2\le a^2$ .
【解】 $\frac{4\pi a^5}{15}(m^2+l^2+n^2)$

$\begin{align} \iiint\limits_{\Omega}(mx+ly+nz)^2dV&=\iiint\limits_{\Omega}(m^2x^2+l^2y^2+n^2z^2)dV\;\;\;&——\;平方展开，对称性消去\nonumber\\ &=\frac{m^2+l^2+n^2}3\iiint\limits_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)dV\;\;\;&——\;轮换对称性，这里{\color{Red} 不能代入}\nonumber\\ &=\frac{4\pi a^5}{15}(m^2+l^2+n^2)\nonumber \end{align}$

补充\总结的知识点

一、常见曲线

星形线

直角坐标： $x^\frac23+y^\frac23=a^\frac23,a>0$

参数方程： $\left\{\begin{array}{l} x=a^{2} \cos ^{3} t \\ y=a \sin ^{3} t \end{array}(a>0, t \in[0,2 \pi])\right.$

摆线

参数方程： $\begin{cases} x=a(\theta-\sin \theta)\\ y=a(1- \cos \theta) \end{cases}$

双纽线

直角坐标系： $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

参数方程： $r^2=a^2\cos 2\theta$

关于双纽线的计算问题，直角坐标都是不方便的，化成极坐标方便

注意这个 $\frac\pi4$

其他：

$(x^2+y^2)^2=2xy$

心形线

直角坐标： $x^2+y^2-ay=a\sqrt{x^2+y^2} ,a>0$

极坐标： $\rho=a(1+\cos \theta ) ,\theta \in[0,2\pi],a>0$

参数方程： $\left\{\begin{matrix} x=a(1+cos\theta )cos\theta \\ y=a(1+cos\theta )sin\theta \\ \end{matrix}\right.\;\;(a>0,\theta\in[0,2\pi])$
即： $\left\{\begin{matrix} x=\rho(\theta) cos\theta \\ y=\rho(\theta)sin\theta \\ \end{matrix}\right.\nonumber$

直角坐标： $x^2+y^2+ay=a\sqrt{x^2+y^2} ,a>0$

极坐标： $\rho=a(1-\cos \theta ) ,\theta \in[0,2\pi],a>0$

参数方程： $\left\{\begin{matrix} x=a(1-cos\theta )cos\theta \\ y=a(1-cos\theta )sin\theta \\ \end{matrix}\right.\;\;(a>0,\theta\in[0,2\pi])$

二、常见曲面

单叶双曲面：

双叶双曲面：

圆锥面

$x^2+y^2=z^2$

旋转抛物面

$x^2+y^2=z$

球面

$x^2+y^2+z^2=1$

圆柱面

$x^2+y^2=1$

马鞍面1

$\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{1^2}=z$

马鞍面2

$z=xy$

三、高中知识回顾

数列求和公式

等比数列求和公式： $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

复数

$z=a+bi$

共轭复数：两个复数，他们的实部相等，虚部互为相反数，所以他们相加相乘都是实数

负数的模= $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$i^2=-1$

几何公式

圆锥体积 $V=\frac13 sh$ ，s是底面积，h是高

球的体积公式： $V=\frac43\pi R^3$ ；球的表面积公式： $V=4\pi R^2$

椭圆面积公式： $S=\pi ab$

海伦公式：（p是三角形周长的一半） $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

平行线间距： $l_1:Ax+By+C_1=0,l_1:Ax+By+C_2=0\;\;\Rightarrow\;\;d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

点到直线的距离： $点(x_0,y_0),l:Ax+By+C=0\;\;\Rightarrow\;\;d=\frac{|Ax_0+Bx_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

球坐标

1、球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：
$x=r\sinθ\cosφ$ ；
$y=r\sinθ\sinφ$ ；
$z=r\cosθ$ ；
$\varphi\in[0,2\pi],\theta\in[0,\pi]$

补充：
$dS=r^2\sin\theta \,d\theta\,d\varphi$
$dV=dx\,dy\,dz=r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\,d\varphi$

三角函数

$\sin (x+n\pi)=(-1)^n\sin x$

四、第二型曲面积分

曲面的分类：

单侧曲面
双侧曲面：内侧/外侧，上侧/下侧，左侧/右侧，左侧/右侧

指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量表示

方向余弦	$\cos \alpha$ (x轴)	$\cos \beta$ (y轴)	$\cos \gamma$ (z轴)	封闭曲面
侧的规定	>0 前侧 <0 后侧	>0 右侧 <0 左侧	>0 上侧 <0 下侧	>0 外侧 <0 内侧

设 $\sum$ 为有向曲面，其面元 $\Delta s$ 在 $xOy$ 面上的投影记为 $(\Delta S)_{xy}$ ， $(\Delta S)_{xy}$ 的面积为 $(\Delta \sigma)_{xy}\ge0$ ，则规定：
$(\Delta S)_{xy}\begin{cases}\;\;\,(\Delta \sigma)_{xy}&\cos\gamma>0\\ -(\Delta \sigma)_{xy}&\cos\gamma<0\\0&\cos\gamma\equiv0\end{cases}$
类似的可规定 $(\Delta S)_{yz}、(\Delta S)_{zx}$

定义：设 $\sum$ 为光滑的有向曲面，在 $\sum$ 上定义了一个向量场 $\overrightarrow{A}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ ，若对 $\sum$ 的任意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在

$\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=0}[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S)_{yz}+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S)_{zx}+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S)_{xy}]$

则称此极限为向量场 $\overrightarrow{A}$ 在有向曲面上对坐标的曲面积分，或第二类曲面积分，记作

$\begin{align}\iint_{\sum} P d y d z+Q d z d x+R d x d y\nonumber\end{align}$

$P,Q,R$ 叫做被积函数， $\sum$ 叫做积分曲面。

$\begin{align} \iint_{\sum} Pdydz称为P在有向曲面\sum上对y,z的曲面积分；\nonumber\\ \iint_{\sum} Qdzdx称为Q在有向曲面\sum上对z,x的曲面积分；\nonumber\\ \iint_{\sum} Rdxdy称为R在有向曲面\sum上对x,y的曲面积分。\nonumber \end{align}$

若记 $\sum$ 正侧的单位方向量为 $\overrightarrow n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ ，令
$\overrightarrow {dS}=\overrightarrow n\,dS=(dydz,dzdx,dxdy)$
$\overrightarrow A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式:

$\begin{align} \iint_{\sum} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_{\sum} \overrightarrow A·\overrightarrow{n}dS=\iint_{\sum} \overrightarrow A·\overrightarrow{dS}\nonumber \end{align}$

补充：
$\cos\gamma=\pm\frac1{\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}}$ ，
$\cos\alpha=\pm\frac{-z_x'^2}{\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}}$
$\cos\beta=\pm\frac{-z_y'^2}{\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}}$
都是上侧取“+”，下侧取“-”

考点

1、概念题

▷ 奇偶性和周期性

★函数的导函数：（前提：可导）

奇函数的导函数为偶函数
偶函数的导函数为奇函数
周期函数的导函数为周期函数，且周期不变

★函数的原函数：（前提：可积或连续，连续可推可积）

奇函数的所有原函数为偶函数
偶函数的原函数只有一个为奇函数
周期函数的所有原函数为周期函数，且周期不变 $\Leftrightarrow\;\int_0^Tf(x)dx=0$

$\Rightarrow$ 若f(x)①周期为T，②是奇函数，则 $\int^x_0f(t)dt$ 是周期T的函数（ $\int_0^Tf(x)dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}f(x)=0$ ）

★周期函数 $f(x)$ 的周期为T， $f(x)$ 可积，则有 $\int_0^{nT}f(x)dx=n\int_0^{T}f(x)dx$

▷ 连续、可导、可微、可积

2、最难的部分

讲义p159，证明书上的定理

3、各章考点题型解法

▷ 第一章函数极限连续

（1）函数

题型一复合函数

看里面函数的值域和外面函数的对应关系

题型二函数性态

自身奇偶性周期性和导函数、原函数的关系注意一下

这个反应快点：奇函数 $f(x)-f(-x)$