数一

选填都五分一题，大题12分一题，除了高数第一大题10分

考研数学阅卷人告诉你考场上哪些步骤必须写！_哔哩哔哩_bilibili

↓↓↓高数：

86分
选择 5分*4；
填空 5分*4；
计算题 10分*1+12分*3

每天一遍，不信记不住

一、等价无穷小代换、无穷大量比较

$$\begin{align} & x\sim\sin x\sim \tan x\sim\arcsin x\sim \arctan x \nonumber\\ & x \sim \ln(1+x)\sim e^x-1\nonumber\\ & (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\;\;{\color{Tan} 推广:} 若\alpha(x)\to0,\alpha(x)\beta(x)\to0,则(1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1\sim\alpha(x)\beta(x)\nonumber\\ & 1-\cos ^\alpha x\sim\frac\alpha2x^2\nonumber\\ & a^x-1\sim x\ln a\nonumber\\ \nonumber\\ & x-\sin x\sim \frac{x^3}6\;\;{\color{Tan}\underleftarrow{ x=\sin x} } \;\;\arcsin x-x\sim \frac{x^3}6\nonumber\\ & \tan x -x\sim\frac{x^3}3\;\;{\color{Tan} \underleftarrow{x=\tan x}} \;\;x-\arctan x\sim\frac{x^3}3\nonumber\\ & x-\ln(1+x)\sim\frac{x^2}2\nonumber \end{align}$$

$$\begin{align} &(1) 当x\to +\infty时，\ln^{\alpha}x \ll x^\beta \ll a^x(其中\alpha>0,\beta>0,a>1) \nonumber \\ &(2) 当n\to\infty 时，\ln^\alpha n \ll n^\beta \ll a^n\ll n!\ll n^n(其中\alpha>0,\beta>0,a>1)\nonumber \end{align}$$

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二、求导公式

$$\begin{alignat*}{2} & {\color{Tan} (1)} \;(C)'=0 &&{\color{Tan} (2)} \;(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} \nonumber\\ & {\color{Tan} (3)} \;(a^x)'=a^x\ln a &&{\color{Tan} (4)} \;(e^x)'=e^x \nonumber\\ & {\color{Tan} (5)} \;(\log_ax)'=\frac1{x\ln a} &&{\color{Tan} (6)} \;(\ln|x|)'=\frac1x \nonumber\\ & {\color{Tan} (7)} \;(\sin x)'= \cos x&&{\color{Tan} (8)} \;(\cos x)'= -\sin x \nonumber\\ & {\color{Tan} (9)} \;(\tan x)'=\sec^2x &&{\color{Tan} (10)} \;(\cot x)'=-\csc^2 x \nonumber\\ & {\color{Tan} (11)} \;(\sec x)'=\sec x\tan x &&{\color{Tan} (12)} \;(\csc x)'=-\csc x\cot x\nonumber\\ & {\color{Tan} (13)} \;(\arcsin x)'= \frac1{\sqrt{1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&{\color{Tan} (14)} \;(\arccos x)'= -\frac1{\sqrt{1-x^2}}\nonumber\\ & {\color{Tan} (15)} \;(\arctan x)'= \frac1{1+x^2}&&{\color{Tan} (16)} \;(\textnormal{arccot}\;x)'= -\frac1{1+x^2}\nonumber \end{alignat*}$$

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三、基本积分公式

$$\begin{alignat*}{2} & {\color{Tan} (1)} \int x^\alpha dx = \frac1{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C \;\;(\alpha\ne-1)&&{\color{Tan} (2)} \int \frac1xdx= \ln|x|+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (3)} \int a^xdx= \frac{a^x}{\ln a}+C\;\;(a>0,a\ne1) &&{\color{Tan} (4)} \int e^xdx= e^x+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (5)} \int \sin xdx= -cos+C &&{\color{Tan} (6)} \int \cos xdx= \sin x+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (7)} \int \sec^2 xdx= \tan x+C\; &&{\color{Tan} (8)} \int \csc^2xdx= -\cot x+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (9)} \int \sec x\tan xdx= \sec x+C &&{\color{Tan} (10)} \int \csc x\cot xdx= -\csc x+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (11)} \int \sec xdx= \ln|\sec x+\tan x|+C &&{\color{Tan} (12)} \int\csc x dx=-\ln|\csc x+ \cot x| +C \nonumber\\ & {\color{Tan} (13)} \int \frac{dx}{a^2+x^2}= \frac1a\arctan \frac xa+C &&{\color{Tan} (14)} \int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac1{2a}\ln|{\frac{a+x}{a-x}}| +C \nonumber\\ & {\color{Tan} (15)} \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= \arcsin \frac xa+C &&{\color{Tan} (16)} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C \nonumber\\ & {\color{Tan} (17)} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}= \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \;\;\;\;\;\;\;\; \nonumber \end{alignat*}$$

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四、几个常用的展开式

$$\begin{alignat*}{4} & {\color{Tan} (1)} \;\;\frac1{1-x}&&=\sum^\infty_{n=0} x^n &&= 1+x+x^2+···+x^n+···&&\;\;(-1\lt x\lt1)\nonumber\\ & {\color{Tan} (2)} \;\;\frac1{1+x}&&=\sum^\infty_{n=0} (-1)^nx^n &&= 1-x+x^2-···+(-1)^nx^n+···&&\;\;(-1\lt x\lt1)\nonumber\\ & {\color{Tan} (3)} \;\;\;\;\;e^x&&=\sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!}&&= 1+x+\frac{x^2}{2!}+···+\frac{x^n}{n!}+···&&\;\;(-\infty\lt x\lt+\infty)\nonumber\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;e^{-x}&&=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^nx^n}{n!}&&= 1-x+\frac{x^2}{2!}-···+\frac{(-1)^nx^n}{n!}+···&&\;\;(-\infty\lt x\lt+\infty)\nonumber\\ & {\color{Tan} (4)} \;\;\;\sin x&&=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}&&= x-\frac{x^3}{3!}+···+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+···&&\;\;(-\infty\lt x\lt+\infty)\nonumber\\ & {\color{Tan} (5)} \;\;\;\cos x&&=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}&&= 1-\frac{x^2}{2!}+···+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+···&&\;\;(-\infty\lt x\lt+\infty)\nonumber\\ & {\color{Tan} (6)} \ln(1+x)&&=\sum^\infty_{ {\color{Red} n=1} } \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n} &&= x-\frac{x^2}2+···+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+···&&\;\;(-1\lt x {\color{Red} \le} 1)\nonumber\\ & \;\;{\color{Red} -}\ln(1-x)&&=\sum^\infty_{ {\color{Red} n=1} } \frac{x^{n}}{n} &&= x+\frac{x^2}2+···+\frac{x^n}{n}+···&&\;\;(-1 {\color{Red} \le} x\lt1)\nonumber \end{alignat*}$$

$$\begin{align} {\color{Tan} (7)} \;(1+x)^\alpha&=\sum^\infty_{n=0} \frac{\alpha(\alpha-1)···(\alpha-n+1)}{n!}x^n\nonumber\\ &= 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2-···+\frac{\alpha(\alpha-1)···(\alpha-n+1)}{n!}x^n+···\;\;(-1\lt x\lt1)\nonumber\\ & 端点要单独看，不然会扣分 \nonumber \end{align}$$

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结论技巧总结

from 660

660 113题

$$\begin{align} &\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]a=1,a\gt0 \nonumber\\ &\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]n=1 \nonumber\\ &\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac 1e \nonumber \end{align}$$

高数讲义p33

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+…+a_m^n}=max\{a_i\},a_i>0\;(1\le i\le m)\nonumber$$

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• 去绝对值，去max{}、min{}

660 116题

$|▅|$，做辅助线 $▅=0$，求导时可以令其为$\sqrt{▅^2}$

$max\{□,△\}$、$min\{□,△\}$，做辅助线 $□=△$

然后分开算

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660 275题

二重积分：注意可以将里面当做函数，这样可以使用一重的方法

例如分部积分：$\int^{…}_{…} dy\int^{g(x)}_{…} f(x)dx=y\int^{…}_{…} f(x)dx|^{…}_{…}-\int ^{…}_{…}yd[\int^{g(x)}_{…} f(x)dx]$

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660 205题

解三角函数的方程，角度是不常规的

画三角形，然后sin，cos，tan都变成a的表达式，计算出a即可

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from 880

若${x_n}$和${y_n}$无界，则${x_ny_n}$无界 是否正确 错

查看解释

解析：取$x_n=n[1+(-1)^n],y_n=n[1-(-1^n)]$

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p7 第4题

关于$f(x)=\varphi(x)|x-x_0|$在$x_0$处是否可导的问题？

查看方法

• 若$\varphi(x_0)=0$，可导
• 若$\varphi(x_0)\ne0$，不可导

p8 第16题

$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+…+x+1)$

p10 第16题
费马定理（常用于证$f(\xi)=0$($\xi$为可导的极值点)）

$$\text { 设 } f(x) \text { 满足在 } x_0 \text { 点处 }\left\{\begin{array}{l} \text { (1) 可导, } \\ \text { (2)取极值, } \end{array} \text {, 则 } f^{\prime}\left(x_0\right)=0\right. \text {. }$$

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• 几个算不出来的积分

$\int e^{\sin x}dx$

$\int e^{ax^2}dx$

$\int{\frac{\sin x}{x}dx}$

$\int{\frac{\cos x}{x}dx}$

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p21 第13题

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from 个人

• 三角函数的求积分问题

$\int \sin\theta\,\cos\theta\,d\theta = \frac12\int d\sin^2\theta$
$\int \sin\theta\,\cos\theta\,d\theta = -\frac12\int d\cos^2\theta$

-3次：$\int\frac1{\cos^3\theta}d\theta=\int\frac1{(1-\sin^2\theta)^2}d\sin\theta$
$\Rightarrow \int{(\frac1{1-x^2})^2}dx=\frac14\int(\frac1{1+x}+\frac1{1-x})^2dx=\frac14\int[\frac1{(1+x)^2}+\frac1{1+x}+\frac1{1-x}+\frac1{(1-x)^2}]dx$

-1次：$\int\frac1{\cos\theta}d\theta=\int\frac1{1-\sin^2\theta}d\sin\theta$

2次：$\int \cos^22\theta d\theta$、$\int \sin^22\theta d\theta$ 解法：半角公式降幂，次数降成1求解

3次：$\int \cos^3\theta d\theta = \int(1 - \sin^2\theta)d\sin\theta$

n次：$\int^{\frac\pi 2}_{0} \sin^n\theta d\theta = \int^{\frac\pi 2}_{0} \cos^n\theta d\theta$ 积分上下限尝试转化为$\frac\pi 2$和0(华里士公式p117)，上下限转化可以借助周期性和奇偶性

杂例1：23年张宇18讲p395 例18.19

$$\begin{alignat*}{2} \int_0^1r^5\sqrt{1+4r^2}dr&=\frac1{64}\int_0^\alpha\tan^5 t\sec t\,d\tan t&&——令2r=\tan t\nonumber\\ &=\frac1{64}\int_0^\alpha\tan^5 t\sec^3 t\,dt&&——又\int\tan t\sec t=\sec t\nonumber\\ &=\frac1{64}\int_0^\alpha\tan^4 t\sec^2 t\;d\sec t\nonumber\\ &=\frac1{64}\int_0^\alpha(\sec^2 t-1)^2 \sec^2 td\sec t\;\;\;\;&&——令\sec t=x,求解即可\nonumber\\ &=\frac1{64}\int_1^{\sqrt{5} }(x^2-1)^2 x^2 dx&&——x的范围—画三角形\nonumber \end{alignat*}$$

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$$\begin{align} &\lim_{n\to\infty}a_n=a \Rightarrow \lim_{n\to\infty}|a_n|=|a|\nonumber\\ &\lim_{n\to\infty}a_n=0 \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}|a_n|=0\nonumber \end{align}$$

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• 考研中常用的基本不等式

$$\begin{align} &①\;\sin x\lt x\lt \tan x\nonumber，x\in(0,\frac\pi2)\\ &②\;\frac{x}{1+x}\lt \ln (1+x)<x，x\in(0,+\infty)\nonumber\\ &③\;1+x\le e^x\nonumber\\ &④\;2ab\le a^2+b^2\nonumber\\ &⑤\;|x\pm y|\le |x|+|y|\nonumber \end{align}$$

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$$\begin{align} |x|&在x=0处不可导;\nonumber\\ x|x|&在x=0处可导;\nonumber\\ x^n|x|&在x=0处n阶可导.\nonumber \end{align}$$

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为什么有时候题目并没有告知抽象函数f(x)有n阶导数，为什么可以求到n阶？

因为题目一般是$f^{(n-1)}(x)=…$，而右边可以观察是可以导的（讲义p73）

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• 易混淆的点

1、

$$\begin{align} &\lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{(1+n)^p}=1,\;\;(p是常数)\nonumber\\ 但&\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(1+n)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac1{(1+\frac1n)^n}=\frac1e\nonumber \end{align}$$

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• 无穷级数中的常用结论

$$\begin{align} & 绝对收敛\pm条件收敛=条件收敛\nonumber\\ & 绝对收敛\pm绝对收敛=绝对收敛\nonumber\\ & 条件收敛\pm条件收敛=条件收敛\;或\;绝对收敛\nonumber \end{align}$$

$$\begin{align} & \sum u_n收敛\;\; \underrightarrow{u_n>0}\;\; \sum u^2_n收敛\nonumber\\ & \sum |u_n|收敛\;\; \longrightarrow\;\; \sum u^2_n收敛\nonumber \end{align}$$

若幂级数$\sum▅$在$x=x_0$处条件收敛，则该点必为该幂级数收敛区间$(-R,R)$上的端点

无穷级数常用技巧：

• 有时候$\sum▅=右边$，计算的时候右边可能求不出来，可以考虑右边也化一个$\sum▅$然后整理到左边
• 傅里叶级数展开时，若$f(x)$有周期性，则可以在任意$[a, a+T]$上展开

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• 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点

一、本质（相同点）

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

1）用多项式逼近函数
2）用已知点信息表示未知点
3）建立函数与高阶导数的关系

二、不同点

1）条件不同
皮亚诺型余项：$f(x)$在点$x_0$有直至n阶的导数
拉格朗日型余项：$f(x)$在含有点$x_0$的开区间（a, b）内有n+1阶的导数

2）余项不同
皮亚诺型余项：$R_n(x)=o(x-x_0)^n$ —— 定性：局部（极限，极值）
拉格朗日型余项：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1))}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ —— 定量：整体（最值，不等式）

三、使用

何时用？ —— 出现了$f^{(n)}(x),n\ge2$
用哪个？ —— 看是研究 局部性态 还是 整体性态
$x_0=$? —— 导数值信息多的点用

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• 向量代数

角平分线：

$\overrightarrow{AP}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$

解释：两个单位向量的和正好是角平分线

矢径向量：从同一个参考点到待研究点的向量。
例如设参考点是坐标原点O，那么A、B、C的矢径向量分别是向量OA、OB、OC。
所以向量AB = OB - OA = r2 - r1，向量BC = OC - OB = r3 - r2
如果证A、B、C三点共线，只需要证明向量AB和BC的叉乘=0，就是证明(r2-r1)×(r3-r2)=0。

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• 三重积分的几何意义

这个视频不错

• 几何意义：

定积分：二维平面图形的净面积

二重积分：三维几何体的净体积

三重积分：四维形状的净度量（画不出来的）

• 物理意义：

定积分：相对密度连续分布的线段净质量

二重积分：相对密度连续分布的平面图形净质量

三重积分：相对密度连续分布的几何体的净质量

补充：

积分学	积分域
定积分	区间
二重积分	平面域$\iint\limits_{D}d\sigma$
三重积分	空间域$\iiint\limits_{\Omega}dv$
曲线积分	曲线弧$\int_L ds$
曲面积分	曲面域$\iint\limits_\Sigma dS$

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• 对称性 + 奇偶性

考研数学中，区域对称，只有二型线面积分部分是反过来的 “奇倍 偶0”，其他都是“偶倍 奇0”。

二型线积分：

$$\begin{align} &设L关于y轴对称，被积函数关于x考察奇偶性 \nonumber\\ &\iint\limits_L P(x,y){\color{Green} dx} =\begin{cases} 0 \nonumber&P关于x是{\color{Green} 奇} 函数\\ 2\iint\limits_L P(x,y)dx&P关于x是{\color{Green} 偶}函数\nonumber \end{cases}\nonumber\\ &\iint\limits_L Q(x,y){\color{Red} dy} =\begin{cases} 0 \nonumber&R关于x是{\color{Red} 偶} 函数\\ 2\iint\limits_L Q(x,y)dy &R关于x是{\color{Red} 奇} 函数\nonumber \end{cases}\nonumber \end{align}$$

二型面积分：

$$\begin{align} &设\Sigma关于xOy面对称，被积函数关于z考察奇偶性 \nonumber\\ &\iint\limits_\Sigma P(x,y,z)dy{\color{Green} dz} =\begin{cases} 0 \nonumber&P关于z是{\color{Green} 奇} 函数\\ 2\iint\limits_\Sigma P(x,y,z)dydz&P关于z是{\color{Green} 偶}函数\nonumber \end{cases}\nonumber\\ &\iint\limits_\Sigma Q(x,y,z)dx{\color{Green} dz} =\begin{cases} 0 \nonumber&Q关于z是{\color{Green} 奇}函数\\ 2\iint\limits_\Sigma Q(x,y,z)dxdz&Q关于z是{\color{Green} 偶} 函数\nonumber \end{cases}\nonumber\\ &\iint\limits_\Sigma R(x,y,z){\color{Red} dxdy} =\begin{cases} 0 \nonumber&R关于z是{\color{Red} 偶} 函数\\ 2\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)dxdy &R关于z是{\color{Red} 奇} 函数\nonumber \end{cases}\nonumber \end{align}$$

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• 三重积分

线积分挖空题结论：
对于一个线积分，除原点(0,0)外，P、Q有一阶连续偏导数，并且$\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x},(x,y)\ne(0,0)$，那么有两个结论
1、沿任何一条不包含原点的分段光滑闭曲线的积分为0
2、沿任意一条包含原点的分段光滑闭曲线的积分都相等（挖的那个洞）

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$$1^2+2^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$

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• $\Gamma$函数

【考研数学】Kira小课糖25|10分钟学会伽马函数

称以下函数为伽马函数:

$$\Gamma({\color{Red} \alpha})=\int_0^{+\infty}x^{ {\color{Red} \alpha} -1}e^{-x}dx$$

伽马函数对于任意的 $\alpha>0$ 收敛

伽马函数形如：

$$\Gamma=\int_0^{+\infty} [ {\color{Red} f(x)} ]^ke^{-{\color{Red} f(x) } }d {\color{Red} f(x) }$$

积分区域($f(x)$)从$0\sim+\infty$，以及$f(x)$一致

伽马函数的性质：
（1）$\Gamma(1)=1$，$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$
（2）$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$
（3）由(1)(2)，$\Gamma(n+1)=n!$

简单记：

$$\begin{align} &①\,[f(x)]^{\color{Red} k} \to \Gamma({\color{Red} k} +1) \nonumber \\ &②以e^{-{\color{Red} f(x)} }为准，凑两边的{\color{Red} f(x)}\nonumber \end{align}$$

具体使用：

1. $\int^{+\infty}_0\sqrt xe^{-x}dx=\Gamma(\frac12+1)=\frac12\Gamma(\frac12)=\frac{\sqrt\pi}2$
2. $\int^{+\infty}_0x^3e^{-x}dx=\Gamma(3+1)=3!=6$
3. $\int^{+\infty}_{-\infty}|x|·\frac1{2\sigma}e^{-\frac{|x|}\sigma}dx=2\int^{+\infty}_{0}x·\frac1{2\sigma}e^{-\frac{x}\sigma}dx=\sigma\int^{+\infty}_{0}\frac x{\sigma}e^{-\frac{x}\sigma}d(\frac x{\sigma})=\sigma\Gamma(1+1)=\sigma$
4. $\int^{+\infty}_{0}x^3e^{-x^2}dx=\frac12\int^{+\infty}_{0}x^2e^{-x^2}dx^2=\frac12\Gamma(1+1)=\frac12$

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易错点

1、y=sin x 的反函数：

若$x\in(0,\frac\pi2)$，则$y=\sin x$的反函数为$x=\arcsin y\,(y=\arcsin x)$

若$x\in(\frac\pi2,\frac{3\pi}2)$，则$y=\sin x$的反函数为$x=\pi-\arcsin y\,(y=\pi-\arcsin x)$

若$x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)$，则$y=\sin x$的反函数为$x=2\pi+\arcsin y\,(y=2\pi+\arcsin x)$

说明：主要是定义域的问题，所以化成一样的问题就好了

$$\begin{align} &若x\in(\frac\pi2,\frac{3\pi}2)，\nonumber\\ &\therefore x-\pi\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)\nonumber\\ &\therefore \sin {(x-\pi)=-\sin x=y}\nonumber\\ &\therefore x-\pi=\arcsin (-y)\,,\,即x=\pi-\arcsin y\nonumber\\ \nonumber\\ &若x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)，同理x-2\pi\in(-\frac\pi2,0)\nonumber\\ &……\nonumber \end{align}$$

880 p35 第6题

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2、累次积分交换积分次序

【例题】交换积分次序：$\int^{\frac32\pi}_{\pi}dx\int^{sinx}_0f(x,y)dy$

【解】首先分析如下图，积分区域是红色部分

$$\begin{align} &那不是直接\int^{0}_{-1}dy\int^{\frac32\pi}_{arcsiny}f(x,y)dx?\;\;✘\nonumber\\ &\sin x的反函数错了，那\int^{0}_{-1}dy\int^{\frac32\pi}_{\pi-arcsiny}f(x,y)dx?\;\;✘\nonumber\\ &\mathbf{在交换累次积分的时候要保证两个积分上限均比积分下限大，则:}\nonumber\\ &题目中\sin x比0小，所以先换回来，那么正确应该如下操作:\nonumber\\ &\int^{\frac32\pi}_{\pi}dx\int^{sinx}_0f(x,y)dy=-\int^{\frac32\pi}_{\pi}dx\int_{sinx}^0f(x,y)dy\nonumber\\ &=-[\int^{0}_{-1}dy\int^{\frac32\pi}_{\pi-arcsiny}f(x,y)dx]=\int^{0}_{-1}dy\int_{\frac32\pi}^{\pi-arcsiny}f(x,y)dx\nonumber \end{align}$$

题目是没有问题的，定积分上下限谁大谁小都可以；不过就是保证上限大于下限，好用一般方法统一解决。

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3、微分方程中加不加绝对值| |的问题

只讨论一阶的，其他都正常加

第一种：

不加的情况（武忠祥）：（应该是有问题的，另一个总结在下面）

1. 题目中可以知道x>0（$\sqrt x、\ln x$）
2. 一阶线性微分方程的通解公式（$e^{\int -p(x)dx}$、$e^{\int p(x)dx}$）
   为什么？因为在用常数变易法推导这个公式的时候已经考虑过了

第二种：

这个视频讲的好啊，总结如下：

从最后结果来看，跟积分过程中不加绝对值是一样的.事实上,有很多题目.加了绝对值之后通过讨论，可以去掉。所以，有很多参考书，求解微分方程的时候，直接不加绝对值。那么，是不是所有的绝对值，都能去掉呢? 答案是否定的

先做个知识准备，拓展一下幂函数
幂函数: $y=x^\alpha$
1.当$x>0$时，$\alpha$为任意实数，y均有意义
2.当$x<0$时，$\alpha=\frac{n}{2m}$(其中n和2m 都是整数且互素，这里就是说分母是偶数)，或者a为无理数时，在实数范围内y没有意义（引入复数后就有意义了，但这超出了考研数学的范围，已经一只脚踏入到复变函数了，因此不需要研究) .

可分离变量的微分方程：

★ [结论] 对于可分离变量微分方程，方程中**没有无理常数因子**的时候，可以直接不加绝对值.
为啥“偶数分母”可以呢，乘过去就没了呀

好在考研数学出题人并没有难为我们，翻遍 30 来年的数一二三真题，也没有类似例 1 这样的题目(事实上教材中也很少有这样的题目)所以，很多书上就直接略去绝对值了 (虽然这样不严密)

一阶线性微分方程：

★ [结论] 一阶线性微分方程中，当$P(x)$中没有无理常数因子，也没有偶数的分母时，$\int P(x)dx$积分中如果出现了$\ln$，可以直接不写绝对值.

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4、无穷级数中的等价代换

首先无穷级数等价无穷小代换，原理是比较法的极限形式（正项级数判定敛散性的5个方法之一）

但是一旦在非正项级数中使用，那就是经典的错误，标准的0分

所以要注意，等价无穷小代换只适用于正项级数

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5、平面束方程的易错点

直线$\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$

的平面束方程为$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$

但是需要注意的是：这种写法的平面束方程不包含平面$A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$。
求解过已知直线的问题这么做会比较方便，但是必须要验证$A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$是否满足条件（660 593题）

或者可以把平面束方程表示为$\mu(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$

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6、只有线面积分可以代入

只有线面积分可以代入，二重三重不能代入

为什么不能代入呢，因为线面积分给的方程就是积分域，被积函数所有点都在积分域上；然而重积分给的是边界，在内部积分，被积函数的点不是全都在边界上，所以不能代入

为什么这里会出问题？ —— 因为线积分用了格林公式变为二重后不能代入，面积分用了高斯公式后变为三重不能代入

【可带的例】（2018 1）设球面$x^2+y^2+z^2=1$与平面$x+y+z=0$的交线，则$\oint_Lxy\,ds$=?

【解】$-\frac\pi3$

$$\begin{alignat*}{1} 由变量对称性知，\oint_Lxy\,ds&=\frac13\oint_L(xy+yz+zx)\,ds\nonumber\\ &=\frac16\oint_L(2xy+2yz+2zx)\,ds\nonumber\\ &=\frac16\oint_L[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]\,ds \;\;\;\longleftarrow\;代入\nonumber\\ &=\frac16\oint_L(0^2-1)\,ds=\frac16\times-2\pi=-\frac\pi3\nonumber \end{alignat*}$$

【不可带的例】计算$\iiint\limits_{\Omega}(mx+ly+nz)^2dV,\Omega:x^2+y^2+z^2\le a^2$.
【解】$\frac{4\pi a^5}{15}(m^2+l^2+n^2)$

$$\begin{align} \iiint\limits_{\Omega}(mx+ly+nz)^2dV&=\iiint\limits_{\Omega}(m^2x^2+l^2y^2+n^2z^2)dV\;\;\;&——\;平方展开，对称性消去\nonumber\\ &=\frac{m^2+l^2+n^2}3\iiint\limits_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)dV\;\;\;&——\;轮换对称性，这里{\color{Red} 不能代入}\nonumber\\ &=\frac{4\pi a^5}{15}(m^2+l^2+n^2)\nonumber \end{align}$$

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补充\总结的知识点

一、常见曲线

1. 星形线

直角坐标：$x^\frac23+y^\frac23=a^\frac23,a>0$

参数方程：$\left\{\begin{array}{l} x=a^{2} \cos ^{3} t \\ y=a \sin ^{3} t \end{array}(a>0, t \in[0,2 \pi])\right.$

2. 摆线

参数方程：$\begin{cases} x=a(\theta-\sin \theta)\\ y=a(1- \cos \theta) \end{cases}$

3. 双纽线

直角坐标系：$(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

参数方程：$r^2=a^2\cos 2\theta$

关于双纽线的计算问题，直角坐标都是不方便的，化成极坐标方便

注意这个$\frac\pi4$

其他：

$(x^2+y^2)^2=2xy$

4. 心形线

直角坐标：$x^2+y^2-ay=a\sqrt{x^2+y^2} ,a>0$

极坐标：$\rho=a(1+\cos \theta ) ,\theta \in[0,2\pi],a>0$

参数方程：$\left\{\begin{matrix} x=a(1+cos\theta )cos\theta \\ y=a(1+cos\theta )sin\theta \\ \end{matrix}\right.\;\;(a>0,\theta\in[0,2\pi])$
即：$\left\{\begin{matrix} x=\rho(\theta) cos\theta \\ y=\rho(\theta)sin\theta \\ \end{matrix}\right.\nonumber$

直角坐标：$x^2+y^2+ay=a\sqrt{x^2+y^2} ,a>0$

极坐标：$\rho=a(1-\cos \theta ) ,\theta \in[0,2\pi],a>0$

参数方程：$\left\{\begin{matrix} x=a(1-cos\theta )cos\theta \\ y=a(1-cos\theta )sin\theta \\ \end{matrix}\right.\;\;(a>0,\theta\in[0,2\pi])$

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二、常见曲面

单叶双曲面：

双叶双曲面：

• 圆锥面

$$x^2+y^2=z^2$$

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• 旋转抛物面

$$x^2+y^2=z$$

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• 球面

$$x^2+y^2+z^2=1$$

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• 圆柱面

$$x^2+y^2=1$$

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• 马鞍面1

$$\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{1^2}=z$$

• 马鞍面2

$$z=xy$$

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三、高中知识回顾

• 数列求和公式

等比数列求和公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

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• 复数

$z=a+bi$

共轭复数：两个复数，他们的实部相等，虚部互为相反数，所以他们相加相乘都是实数

负数的模=$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$i^2=-1$

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• 几何公式

圆锥体积$V=\frac13 sh$，s是底面积，h是高

球的体积公式：$V=\frac43\pi R^3$；球的表面积公式：$V=4\pi R^2$

椭圆面积公式：$S=\pi ab$

海伦公式：（p是三角形周长的一半）$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

平行线间距：$l_1:Ax+By+C_1=0,l_1:Ax+By+C_2=0\;\;\Rightarrow\;\;d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

点到直线的距离：$点(x_0,y_0),l:Ax+By+C=0\;\;\Rightarrow\;\;d=\frac{|Ax_0+Bx_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

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• 球坐标

1、球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：
$x=r\sinθ\cosφ$；
$y=r\sinθ\sinφ$；
$z=r\cosθ$；
$\varphi\in[0,2\pi],\theta\in[0,\pi]$

补充：
$dS=r^2\sin\theta \,d\theta\,d\varphi$
$dV=dx\,dy\,dz=r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\,d\varphi$

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• 三角函数

$\sin (x+n\pi)=(-1)^n\sin x$

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四、第二型曲面积分

曲面的分类：

• 单侧曲面
• 双侧曲面：内侧/外侧，上侧/下侧，左侧/右侧，左侧/右侧

指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量表示

方向余弦	$\cos \alpha$ (x轴)	$\cos \beta$ (y轴)	$\cos \gamma$ (z轴)	封闭曲面
侧的规定	>0 前侧 <0 后侧	>0 右侧 <0 左侧	>0 上侧 <0 下侧	>0 外侧 <0 内侧

设$\sum$为有向曲面，其面元$\Delta s$在$xOy$面上的投影记为$(\Delta S)_{xy}$，$(\Delta S)_{xy}$的面积为$(\Delta \sigma)_{xy}\ge0$，则规定：
$(\Delta S)_{xy}\begin{cases}\;\;\,(\Delta \sigma)_{xy}&\cos\gamma>0\\ -(\Delta \sigma)_{xy}&\cos\gamma<0\\0&\cos\gamma\equiv0\end{cases}$
类似的可规定$(\Delta S)_{yz}、(\Delta S)_{zx}$

定义：设$\sum$为光滑的有向曲面，在$\sum$上定义了一个向量场$\overrightarrow{A}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，若对$\sum$的任意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在

$$\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=0}[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S)_{yz}+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S)_{zx}+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S)_{xy}]$$

则称此极限为向量场$\overrightarrow{A}$在有向曲面上对坐标的曲面积分，或第二类曲面积分，记作

$$\begin{align}\iint_{\sum} P d y d z+Q d z d x+R d x d y\nonumber\end{align}$$

$P,Q,R$叫做被积函数，$\sum$叫做积分曲面。

$$\begin{align} \iint_{\sum} Pdydz称为P在有向曲面\sum上对y,z的曲面积分；\nonumber\\ \iint_{\sum} Qdzdx称为Q在有向曲面\sum上对z,x的曲面积分；\nonumber\\ \iint_{\sum} Rdxdy称为R在有向曲面\sum上对x,y的曲面积分。\nonumber \end{align}$$

若记$\sum$正侧的单位方向量为$\overrightarrow n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，令
$\overrightarrow {dS}=\overrightarrow n\,dS=(dydz,dzdx,dxdy)$
$\overrightarrow A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式:

$$\begin{align} \iint_{\sum} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_{\sum} \overrightarrow A·\overrightarrow{n}dS=\iint_{\sum} \overrightarrow A·\overrightarrow{dS}\nonumber \end{align}$$

补充：
$\cos\gamma=\pm\frac1{\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}}$，
$\cos\alpha=\pm\frac{-z_x'^2}{\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}}$
$\cos\beta=\pm\frac{-z_y'^2}{\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}}$
都是上侧取“+”，下侧取“-”

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考点

1、概念题

▷ 奇偶性和周期性

★函数的导函数：（前提：可导）

• 奇函数的导函数为偶函数
• 偶函数的导函数为奇函数
• 周期函数的导函数为周期函数，且周期不变

★函数的原函数：（前提：可积或连续，连续可推可积）

• 奇函数的所有原函数为偶函数
• 偶函数的原函数只有一个为奇函数
• 周期函数的所有原函数为周期函数，且周期不变 $\Leftrightarrow\;\int_0^Tf(x)dx=0$

$\Rightarrow$ 若f(x)①周期为T，②是奇函数，则$\int^x_0f(t)dt$是周期T的函数（$\int_0^Tf(x)dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}f(x)=0$）

★周期函数$f(x)$的周期为T，$f(x)$可积，则有$\int_0^{nT}f(x)dx=n\int_0^{T}f(x)dx$

▷ 连续、可导、可微、可积

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2、最难的部分

讲义p159，证明书上的定理

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3、各章考点题型解法

▷ 第一章 函数 极限 连续

（1）函数

• 题型一 复合函数

看里面函数的值域和外面函数的对应关系

• 题型二 函数性态

自身奇偶性周期性和导函数、原函数的关系注意一下

这个反应快点：奇函数$f(x)-f(-x)$、偶函数$f(x)+f(-x)$
还有一些常见的奇偶函数

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（2）极限

• 题型一 极限的概念、性质及存在准则（难点）

考选择题
考证明题（难点）

注意概念：局部有界限，保号性，极限与无穷小的关系

• 题型二 求极限（重点）

方法汇总：

1. 有理运算
2. 基本极限求极限
3. 等价无穷小代换（加减可以“先代后验”）
4. 洛必达法则（广义洛必达法则$\frac*\infty$）
5. 泰勒公式
6. 夹逼准则
7. 定积分的定义（可爱因子“底$\frac1n$, 高$f(\frac{k}n)$”）
8. 单调有界准则

注意每一步都要这么做：注重“先化简，再套方法”
化简：极限非零因子可以先求、有理化、变量代换

函数极限：

• ${\Large \mathbf{\frac00}}$

（1）洛必达法则
（2）等价无穷小代换
（3）泰勒公式

• ${\Large \mathbf{\frac\infty\infty}}$

（1）洛必达法则
（2）分子分母同除以分子分母中各项最高阶无穷大

• $\mathbf{\infty-\infty}$

（1）通分化为$\mathbf{\frac00}$（适用于分式差）
（2）根式有理化（适用于根式差）
（3）提无穷因子，然后"()"里面用等价代换、变量代换、泰勒公式

• $\mathbf{0·\infty}$

化为$\mathbf{\frac00}$或$\mathbf{\frac\infty\infty}$
哪个简单用哪个，都不简单考虑能不能先变化一下（等价代换）

• ${\Large \mathbf{1^\infty} }$

常用三种方法：
（1）凑基本极限 $\lim[1+\varphi(x)]^\frac{1}{\varphi(x)}=e，(\lim\varphi(x)\to0,但\varphi(x)\ne0)$
（2）改写成指数形式
（3）利用结论：$\lim \alpha(x)\to0,\lim \beta(x)\to\infty且\lim\alpha(x)\beta(x)\to A\Rightarrow \lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^A$
常用第三种：三步走
1、化为标准型 $原式=\lim(1+\alpha)^\beta$
2、求极限 $\lim\alpha\beta\to A$
3、写结果 $e^A$

• ${\Large \mathbf{\infty^0 、 0^\infty}}$

改写成指数形式

数列极限：

• 不定式

改写成函数极限，再用洛必达法则

• n项和的数列极限

（1）夹逼准则
（2）定积分定义
（3）级数求和（求和函数的函数值）

• n项连乘的数列极限

（1）夹逼准则
（2）取对数化为n项和

• 递推关系式$x_1=a,x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2…)$定义的数列

方法一：先证单调有界，再求出极限
方法二：先直接求出极限，再证明单调有界

单调容易求就用方法一
单调判断的三种方法p34

★ 880 p5解答题第五题，递推式是两个的怎么办？通过变形变成一个的递推式
eg：

$$\begin{align} &x_{n+2} = \frac{1}{2}\left(3 x_{n+1}-x_{n}\right) \nonumber \\ \Rightarrow&x_{n+2} + ax_{n+1} = b(x_{n+1}+ax_{}) \nonumber \\ \Rightarrow&解的a=-1或-\frac 12,为了能前后相加消除取a=-1 \nonumber \end{align}$$

• 题型三 确定极限式中的参数

方法一：整体看，同时可求出多个参数
方法二：一个一个算（推荐这种）

• 题型四 无穷小量阶的比较

就是求$\mathbf{\frac00}$的问题

常考：1、排序；2、最高/低阶

方法：1、两两对比；2、估阶p41

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（3）连续

• 题型一 讨论连续性及间断点类型

先找没有定义的点，在用定义来判断间断点类型

• 题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题

找那两个点

证明有根：零点定理、介值定理

证明只有一个根：加上单调性

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▷ 第二章 一元函数微分学

（1）导数与微分

• 题型一 导数与微分的概念

（1）利用导数定义求极限（求极限$\to$求导数）
（2）利用导数定义求导数
（3）利用导数定义判断函数可导性（难点）

总结：对于形式如$\lim \frac{f(\varphi(h))-f(0)}{\psi(h)}=\lim \frac{f(\varphi(h))-f(0)}{\varphi(h)}·\frac{\varphi(h)}{\psi(x)}$，必须满足两个条件:

$$\begin{cases}1.\varphi(x)^{\to0^+}_{\to0^-}\nonumber\\2.\varphi(x)和\psi(x)同阶（因为要是个常数才有用）\nonumber\end{cases}$$

• 题型二 导数的几何意义

相切$\to\begin{cases}1.函数值相等\nonumber\\2.导数值相等\nonumber\end{cases}$

• 题型三 导数与微分的计算（重点）

（1）复合函数求导法

$$f(g(x))\to\begin{cases}1.f'(u_0)和g'(x_0)都存在，则可导，导数值为f'(u_0)g'(x_0)\nonumber\\2.f'(u_0)和g'(x_0)至少有一个不存在，那么就得求出复合函数关于x的表达式再算\nonumber\end{cases}$$

（2）隐函数求导法

（3）参数方程求导法（考的还比较频繁）
$\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)};\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}(\frac{y'(t)}{x'(t)})\frac1{x'(t)}$
二阶的公式$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{x'^3(t)}$

（4）反函数求导：得先推一下怎么求

（5）对数求导法：转成复合函数求导

（6）高阶导数：

• 代公式

• 求一阶、二阶、归纳n阶

• 利用泰勒级数（或泰勒公式）—— 求具体点的高阶导数

  • 泰勒级数

    $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n$$

  • 泰勒公式

    $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$$

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（2）导数应用

• 题型一 函数值的单调性、极值与最值（基本题）

画表或者说明都行

• 题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率（基本题）

带公式，这种是方法题

渐近线可以考虑泰勒展开

• 题型三 方程的根的存在性及个数（较难）

存在性：法一：零点定理；法二：罗尔定理（找原函数的F(a)=F(b)）

根的个数：法一：单调性；法二：罗尔定理推论（可以直接用）

罗尔定理推论：若在区间$I$上$f^{(n)}(x)\ne0$，则方程$f(x)=0$在$I$上最多有n个实根。
所以可以先试根，得到n个，在罗尔定理推论$\le n$，这样就可得到有且仅有n个实根了

含有参数的根的问题，尽量分离参数，这样写起来不会太繁琐

• 题型四 证明函数不等式（较难）

（1）单调性；✔
（2）最大最小值；
（3）拉格朗日中值定理；
（4）泰勒公式；
（5）凹凸性；

比较数的大小，就是转化为单调函数在一个区间上的比较

• 题型五 微分中值定理有关的证明题（难点 重点）

p81

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▷ 第三章 一元函数积分学

（1）不定积分

• 题型一 计算不定积分（重点）

不同方法，得到的不定积分形式可能差异很大，但是没关系

常用技巧：凑微分降幂、加项减项拆

• 题型二 不定积分杂例（重点）

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（2）定积分

• 题型一 定积分的概念、性质及几何意义

变上限积分上下限差个常数，可以用积分中值定理

• 题型二 定积分计算（重点）

先看奇偶性（和式可以拆开看），能不能化简

再看看周期性

再来考虑计算

特殊方法：
1.原函数难求或求不出来怎么办？
——“区间再现”，换元，但是让区间不变
2.一重转二重，用累次积分再交换积分次序p112

• 题型三：变上限积分函数及其应用（重点）

被积分函数带了自变量：

• 一元的处理方法：1.直接提；2.换元
• 二元的处理方法：1.直接提；2.换元；3.交换积分次序

ps：上图看不清的上下限是$\int^x_af(t)dt$

• 题型四 积分不等式（选择基本题，大题难题）

（1）变量代换
（2）积分中值定理
（3）变上限积分
（4）柯西积分不等式$(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\le\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$

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（3）反常积分

• 题型一：反常积分的敛散性（重点）

注意点：区间内有多个反常积分（瑕点，无穷），那就都分别算，取一个点分割开，这个点无所谓

定义法：直接求出积分

比较判别法：记一下两个常用结论p123 p124

• 题型二：反常积分计算（重点）

定义法：直接算出积分

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（4）定积分应用

• 题型一：几何应用（重点）

方法一：微元法

方法二：直接用二重积分

后面看一下，f(x)绕直线的体积

• 题型二：物理应用（重点）

同上

主要三个问题：

1. 变力沿直线所做的功：$W=F×s$（W：功；F：力；s：移动的距离）
2. 液体压力：$P = ρgh$，关键在与分析垂直切面一小块的面积（微元法）
3. 引力：$F=G\frac{Mm}{r^2}$

tips：参数方程求积分，$\iint d\sigma=\iint dxdy=\int dx\int^{y(x)}_0 dy=\frac12 \int y^2(x)dx$，再把y和x的参数方程代入计算就好了

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▷ 第四章 常微分方程

微分算子法-bilibili 秒杀二阶常系数非齐次方程的特解

微分算子法：

一阶（5个）：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、全微分方程

可降阶方程（三种）：
（1）$y^{(n)}=f(x)$，两边一直积分就好了
（2）$y''=f(x,y')$ (没有y)
（3）$y''=f(y,y')$ (没有x)

高阶（4个）：线性微分方程（只考理论）、常系数齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程、欧拉方程

• 题型一 微分方程求解

对于一阶：主要就是判断是哪种类型（看不出来可以xy地位对调、变量代换），再选择方法

别的就直接套方法就好了

• 题型二 综合题（难点）

别的问题处理完后，发现这是个微分方程，然后把微分方程求出来就好了

• 题型三 应用题

和上面一样，处理后发现是微分方程，然后对微分方程求解

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▷ 第五章 多元函数微分学

（1）重极限、连续、偏导数、全微分（概念、理论）

• 题型：讨论连续性、可导性、可微性（重点）

分段函数判断一点连续：先求重极限（取绝对值+夹逼、……）

分段函数判定一点偏导数：定义判断

分段函数判定一点可微分：
①判断$f'_x、f'_y$是否都 存在；
②可微等价形式（其实关键看$f'_x、f'_y$的值）

总结：

$$\begin{align} &①\lim_{x\to0}f'_x(x,0)=f'_x(0,0)且\lim_{y\to0}f'_y(0,y)=f'_y(0,0) {\color{Red} 是} f(x)在(0,0)处可微的{\color{Red} 既非充分也非必要条件}\nonumber \\ &\;\;\;\lim_{x\to0}f'_x(x,0)=f'_x(0,0)且\lim_{y\to0}f'_y(0,y)=f'_y(0,0) {\color{Green} \Rightarrow} f'_x(x,0)和f'_y(0,y)在(0,0)处连续\nonumber \\ &②f'_x(0,0)且f'_y(0,0)(用定义求)存在{\color{Green} 是} f(x)在(0,0)处可微的{\color{Green} 必要条件} \nonumber \\ &\;\;\; f'_x(0,0)且f'_y(0,0)存在 {\color{Green} \Rightarrow{\color{Green} } } f(x,0)和f(0,y)在(0,0)处连续\nonumber \\ &③\lim_{x\to0}f'_x(x,y)=f'_x(0,0)且\lim_{y\to0}f'_y(x,y)=f'_y(0,0) {\color{Green} 是} f(x)在(0,0)处可微的{\color{Green} 充分条件} （一阶偏导数连续）\nonumber \end{align}$$

关系图：p156

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（2）偏导数与全微分的计算

• 题型一：求一点处的偏导数与全微分

求偏导数：用定义，注意用“先代后求”

• 题型二：求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分

画树形图

凑微分（分组凑）、偏积分

• 题型三：含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分

画树形图

凑微分（分组凑）、偏积分

• 题型四：隐函数的偏导数与全微分

由一个方程确定的隐函数：公式；两边求导；微分形式不变

由方程组确定的隐函数：两边求导；微分形式不变性

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（3）极值与最值

• 题型一：求无条件极值（可出大题）

1、求出所有驻点
2、用$AC-B^2$判断极大极小值

• 题型二：求最大最小值（可出大题）

三类题：

1. f(x,y)，有边界
   解法：1、求出内部所有可能极值点 和 边界上最大最小值（拉格朗日乘数法）；2、比较
2. 条件极值
   解法：1、拉格朗日乘数法求出所有可能极值点；2、比较
3. 应用题
   解法：关键在构造目标函数，其他一样

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▷ 第六章 二重积分

• 题型一：计算二重积分（重点）

先看奇偶性，能不能把区间减小，或者去绝对值；

再看看能不能用轮换对称性把被积函数化简一下；

最后再看看需不需要交换累次积分；

最后最后考虑一下形心；

最后最后最后 求（可以分离用一下分离$\int dy\int f(y)g(x)dx=\int f(y)dy\int g(x)dx$）。

• 题型二：累次积分交换次序及计算

交换次序：

• 1、画出积分域；2、重新定限

• 关键：画线穿过积分域：

  $\int dx\int dy$ 画线$x=c$
  $\int dy\int dx$ 画线$y=c$
  $\int d\theta\int rdr$ 画线$\theta=c$
  $\int dr\int rd\theta$ 画线$r=c$

计算累次积分：这种题肯定是要换的

• x、y其中一个不好做就换另一个
• x、y都不好做，那就换坐标系

tips：$\int dy\int f(y)g(x)dx=\int f(y)dy\int g(x)dx$

• 题型三：与二重积分有关的综合题（难题） 可以出到卷子最难的部分

综合了，没办法，慢慢总结：

• 巧用轮换对称性
• 二重积分中值定理

……

• 题型四：与二重积分有关的积分不等式问题

区域一样比较被积函数（和一重一样）

……

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▷ 第七章 无穷级数

（1）常数项级数

注意定义法考的很少很少。

$\frac{\ln(n)}{n}$形式，考虑无穷大量 $\ln n \ll n^\varepsilon$

• 题型一 正项级数敛散性的判定

五种方法：

看不出来形式可以考虑等价代换（等价用方法2)可说明是同敛散的）
先看3)比值 4)根值 —— 出现"三巨头"$a^n, n!,n^n$（等于1，特别判定）
再看1)比较法 2)比较法的极限形式 —— 举例：$n^p,\ln^pn$ 抽象级数一般用1）
积分判别法用的少 —— $\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^p},\sum^\infty_{n=1}\frac1{n},\sum^\infty_{n=2}\frac1{n\ln^pn}$

上面都处理不了：考虑放缩，用1)比较法

思想：考到$▅·u_n$，改写成$\frac{u_n}▅$

选择题不推荐用排除法，用直接法

• 题型二 交错级数敛散性判定

就莱布尼茨准则

判断单调减可以转成函数来判断，注意敛散性与前n项无关
趋向0也可以转成函数，然后洛必达

隐藏的交错级数三角函数 $\sin(\varphi(x))= \sin(n\pi+[\varphi(x)-n\pi]) =(-1)^n\sin(\varphi(x)-n\pi)$

用不了怎么办？——回到定义：前n项和有极限

• 题型三 任意项级数敛散性判定

最常用的是绝对收敛

“拆项减项”

• 题型四 证明题与综合题（难点重点，数一考过最难的题）

看到通项中出现 前项减后项，考虑定义，因为前后可消

巧用放缩

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（2）幂级数

子型级数：$\sum\limits^\infty_{n=0}a_nx^n$ (都是$|x|<1$)

$$\begin{align} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} & = \frac{1}{1-x} \nonumber \\ \sum_{n = 0}^{\infty} n x^{n-1} & = \left(\frac{1}{1-x}\right)^{\prime} =\frac{1}{(1-x)^2} \nonumber\\ \sum_{n = 0}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} & = \left(\frac{1}{1-x}\right)^{\prime \prime} =\frac{2}{(1-x)^3}\nonumber \end{align}$$

三大母型级数：(都是$|x|<1$)

不跳项一个

$$\begin{align} &\sum ^\infty _{n = 0}x^n = \frac{1}{1-x} \nonumber \\ 积分:&\sum ^\infty _{n = 1}\frac{x^{n}}{n} =-\ln (1-x) \nonumber \end{align}$$

跳项两个

$$\begin{align} &\sum ^\infty _{n = 0}\frac{x^{2n-1}}{2n-1} = \frac{\sum \limits ^\infty _{n = 0}\frac{x^n}{n}- \sum \limits ^\infty _{n = 0}\frac{-x^n}{n}}{2} = \frac{-\ln(1-x)-[-\ln(1+x)]}{2} \nonumber \\ 同样的:&\sum ^\infty _{n = 0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \nonumber \end{align}$$

$$\begin{align} &\sum ^\infty _{n = 0}(-x^2)^n = \frac{1}{1-(-x^2)} = \frac{1}{1+x^2} \nonumber \\ 积分:&\sum ^\infty _{n = 0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} =\arctan x \nonumber \end{align}$$

• 题型一 求收敛区间及收敛域

求收敛半径：

• 对于缺项（2n或2n-1），也直接用公式，然后开平方
  或者 是走定义，后一项比前一项（带x的，公式是只算系数的），然后结果<1得出|x|<R（想一下等比数列收敛）

• 两个公式，哪个简单用哪个

• 由于$(-1)^n$导致两个公式都用不了，那就把奇偶就拆开来求

• 还是用不了就走定义$|\frac{后项}{前项}|<1$（存疑）

• 常用技巧：提公因数，然后用基本结论p：

  $$\lim _{x\to\infty}x^n=\begin{cases} 0,&|x|<1,\nonumber\\ \infty,&|x|>1,\nonumber\\ 1,&x=1,\nonumber\\ 不存在,&x=-1.\nonumber\\ \end{cases}$$

求收敛域：

1. 先把收敛半径求出来
2. 然后代入端点看端点收不收敛（常用技巧：加项减项拆）

其他常考：1、幂级数逐项求导，半径不变；2、中心移动（x-a、x+b这样），跟着动就好了（阿贝尔定理）；3、条件收敛的点一定是端点（常见$\sum▅发散，\sum(-1)^n▅收敛$）

• 题型二 将函数展开为幂级数

用的多的是间接展开法

有理函数常用技巧：加项减项拆，然后代入已有的展开公式$\frac1{1-x}、\frac1{1+x}$

$\ln$ 函数常用技巧：凑$\ln (1+\varphi(x))$形式，然后套$\ln (1+x)$

其他也是凑。

凑不出来怎么办？
—— 两边同时求导再积分（变上限积分）或两边同时先积分在求导

其他考法：在$x_0$处的展开幂级数，解法：把$x$都凑成$\varphi(x-x_0)$

方浩：
（1）四则运算 —— 拆开
（2）求导或积分 —— 转化成常见结论
（3）还原 —— 常见结论
（4）最简化 —— 合并

• 题型三 级数求和

也是依据 已有展开公式 和 性质；

主要还是观察和哪个公式比较接近，然后想办法凑（可以求导积分、积分求导）；

结果多项少项 要 减去或加上；

收敛区间就是用公式的区间；

没有公式怎么办，求导，看能不能让右边也出现要求的形式，然后解微分方程；660 585,586题

其他考法：求常数项级数的和 —— 将问题转化为求和函数在某一具体点的值；

其他考法：综合题（可以考到最难的部分）

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（3）傅里叶级数

1. 正常展开
2. 奇偶函数展开
3. 半个周期展为正弦/余弦

• 题型一 有关收敛定理的问题

考法一：直接套狄利克雷三个公式

考法二：判断周期+判断奇偶延拓，再套狄利克雷三个公式

• 题型二 将函数展开为傅里叶级数

先看奇偶性来化简

考法一：只算系数

考法二：1、算系数，傅里叶展开；2、判断收敛（狄利克雷收敛定理)，哪个区间能和f(x)画“=”

注意：有奇偶延拓的时候，狄利克雷收敛定理是在延拓的图像上用，如下图，代的就是延拓后的点

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▷ 第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

常用符号：方向向量$\overrightarrow{s}$、法向量$\overrightarrow{n}$

复杂问题先用一个点$(x_0,y_0,z_0)$去研究会比较方便

易出错的点，注意和法向量比较的结果要转一下，因为法向量和对应平面垂直

（1）向量代数

• 题型一 向量运算

点乘，叉乘，混合积的运算性质

• 题型二 向量运算的应用及向量的位置关系

数量积、向量积和混合积的几何应用

两个直线相交 —— 两直线不平行且共面（三个向量的混合积=0）

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（2）空间平面与直线

• 题型一 建立直线方程

关键是求出方向向量

• 题型二 建立平面方程

关键是求出法向量

• 题型三 与平面和直线位置有关的问题

常规操作即可

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（3）曲面与空间曲线

• 题型一 建立柱面方程

1.先拿一个点$(x_0,y_0,z_0)$，建立方程组；2. 消去$(x_0,y_0,z_0)$

• 题型二 建立旋转面方程

方法：带旋转面公式

多元积分的时候间接考

专门考：1. 先拿一个点$(x_0,y_0,z_0)$，写出这个点到轴的距离，这样会得到例如$x^2+y^2=x^2_0+ y^2_0$的方程；2. 消去$(x_0,y_0,z_0)$

• 题型三 求空间曲线的投影曲线方程

在某个平面的投影，就与某个坐标无关了，消去后就是答案了，例如xoy平面，就消去z

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（4）多元函数微分在几何上的应用

• 题型一 建立曲面的切平面和法线方程

一般是常规题，求法向量就好了

非常规有一定难度，讲义p241【例4】（考虑问题转化）

• 题型二 建立空间曲线的切线和法平面

一样常规方法，求方向向量（求切向量）了

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（5）方向导数与梯度

• 题型 方向导数与梯度的计算

先求偏导数，再求方向向量的方向余弦，最后套公式

例如：知道方向向量$\overrightarrow{AB}=\{x_0,y_0,z_0\}$，方向余弦就是等于单位化的结果，即$\cos\alpha=\frac{x_0}{|\overrightarrow{AB}|}、\cos\beta=\frac{y_0}{|\overrightarrow{AB}|}、\cos\gamma=\frac{z_0}{|\overrightarrow{AB}|}$

求方向导数的最大值？就是求出梯度向量，然后求模

非常规有一定难度，讲义p245【例5】

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▷ 第九章 多元函数积分学及其应用

（1）三重积分与线面积分

考情分析：2023考了二型面积分，那么2024考二型线积分的概率挺大的，应该是重点中的重点

tips：轮换对称性有时候不好看出来，可以把积分域$\sum$的xyz轮换一下看有没有变化
轮换对称性在这块非常常用

tips：化到二重后，形心$\iint xdS$要快速反应

tips：遇到偏心圆，偏向球，可以采用奇函数的平移。eg：$\iint xds=\iint [(x-a)+a]ds$，或者就是形心

tips：二型线面积分有奇点怎么办？方法一：“挖洞”；方法二：代入分母，把分母换了，消去奇点；方法三：换面 + 代入消去分母

• 题型一 计算三重积分

1. 直角坐标：“先一后二”，“先二后一”
2. 柱坐标：$\varphi(z)f(\sqrt{x^2+y^2})$、$\varphi(z)+f(\sqrt{x^2+y^2})$
3. 球坐标：$f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$
4. 奇偶性
5. 对称性

方法如何选择：
先看积分区域和被积函数能不能用奇偶性、对称性和轮换对称性进行化简；
再看情况选用哪种方法。

换元法（柱坐标柱坐标）看一下张宇的第18讲 $dx\,dy\,dz=\begin{Vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{Vmatrix}du\,dv\,dw$ (二重的类似)

什么时候“先二后一”？
1、被积函数是$f(z)$，可以拿到前面去；2、如下图，用$z=z$截出来的面积好求 （x、y同理）

椭球体也可以用这个方法 eg:武忠祥每日一题

“先一后二”怎么定限？画平行于z轴的线穿过去.

特殊方法：
形心：出现$\iiint xdv$的时候，如果$\overline x$可以一眼看出来，那就可以形心（$\overline x=\frac{\iiint xdv}{\iiint dv}=\frac{\iiint xdv}{V}$）
奇偶性偏移：……

变域怎么处理？化成熟悉的问题（变上限积分），怎么转成变上限积分（累次积分）

三重累次积分计算？
给的肯定是不好算的需要交换积分次序；而三重不好做，二重好做，怎么办？常用思想：降维
怎么降维？先把内层两个交换（二重），算完一层，如果还不好做，就再换
$eg:{\color{Red} \int dx} {\color{Green} \int dy} {\color{Blue} \int dz} \to {\color{Red} \int dx} {\color{Blue} \int dz} {\color{Green} \int dy} \to {\color{Red} \int dx} {\color{Blue} \int dz} \to {\color{Blue} \int dz}{\color{Red} \int dx}$

• 题型二 计算对弧长的线积分

平面线积分：（1）直接法（2）奇偶性（3）轮换对称性
空间线积分：（1）直接法（2）奇偶性（3）轮换对称性

直接法口诀：一投 二代 三微变

方法如何选择：
先看积分区域和被积函数能不能用奇偶性、对称性和轮换对称性进行化简；
再看能不能代入（每一步都要考虑的）；
最后就是计算（直接法）。

对于空间曲线的直接法：关键就是曲线化参数方程（一般式 化为 参数式）

空间曲线 一般式 化为 参数式：
1、先联立消去一个变量，剩下两个变量好转参数式（关键就是$\sin^2 t+ \cos^2 t=0$）
2、剩下一个，用前面求出来的代入

• 题型三 计算对坐标的线积分（今年的重中之重）

平面线积分：（1）直接法（2）格林公式（3）补线格林公式（4）利用线积分与路径无关
空间线积分：（1）直接法（2）斯托克斯公式（3）消去z化为平面线积分

直接法口诀：一投 二代 三计算

二型线积分的方法选择：
先考虑格林公式（看区域是否封闭）；
（不封闭）再看是否与路径无关;（首选改换路径，除非好凑微分）（可以拆开，重组）
都不行考虑补线用格林公式或者直接计算（补直线，但也不是非要直线）

改换路径tips：走直线有两种路径，那个简单用哪个

考试小技巧：考场允许写成$I=\oint_{L+l}-\oint_l$（即不写被积函数（重复））

格林公式注意点：围起来的闭区域有没有“(0,0) 点”，这很容易忽略；有原点那就“挖洞思想”（挖掉一个R的圆，不是圆也行，灵活点）P257 258【例4 5】

直接法，参数方程不好转化的时候 —— $dy\to dx$，转化成对dx的积分也是可以的

空间曲线：
封闭：先看是不是曲面和平面的交线，方便消去z化为平面线积分（考的也多，具有普遍性，要注意）；
再考虑斯托克斯公式、补线用托克斯公式；
最后直接法。
不封闭：
先考虑路径无关，$\mathbf{rot\;F=0}$（无旋场）；
再直接法。

出现三角函数，法向量，考虑两类线积分的关系，$ds$转化成$dx,dy$

第二类曲线积分能不能拆成两项来算？— 当然可以，但是在大部分计算实践中似乎没有拆分的必要，做题可以拆出来几项

• 题型四 计算对面积的面积分

（1）直接法（2）奇偶性（3）变量对称性

直接法口诀：一投 二代 三微变
tips：除了常规的“1投 2代 3微变”，还可以主动算出微元$dS$，例如：求圆柱面，则$ds=2\pi R\,dz$

方法选择：
先看积分区域和被积函数能不能用奇偶性、对称性和轮换对称性进行化简；
再看能不能代入（每一步都要考虑的）；
最后就是计算（直接法）。

• 题型五 计算对坐标的面积分

（1）直接法（2）高斯公式（3）补面用高斯公式

考试中这块能用奇偶性的题很少

直接法口诀：一投 二代 三定号
拆开来分别做

方法选择：
先看封不封闭，封闭就先看高斯公式
不封闭，就先看补面高斯公式
最后才直接法

都得注意代入方程

高斯公式要注意P、Q、R都要有定义（一般就是因为分母导致不能用）

“奇点”：二型曲线，二型曲面被积函数分母出现0，导致没有定义。解决办法：“挖洞思想”

换面解决“奇点” ：
1、封闭曲面内部有“奇点”，且$\mathbf{div F =0}$（“无源场”），可以考虑换面来解决，边界无需重合
2、非封闭曲面，若$\mathbf{div F =0}$，可考虑换面，边界要重合

$$1、挖洞：当div\,F=0时，\iint\limits_{\Sigma_{1外}+\Sigma_{2内}}Pdydz+Qdydz+Rdxdy=0\Rightarrow\iint\limits_{\Sigma_{1外}}=-\iint\limits_{\Sigma_{2内}}=\iint\limits_{\Sigma_{2外}}\\ 2、补面：当div\,F=0时，\iint\limits_{\Sigma_{1外}+\Sigma_{2外}}Pdydz+Qdydz+Rdxdy=0\Rightarrow\iint\limits_{\Sigma_{1外}}=-\iint\limits_{\Sigma_{2外}}=\iint\limits_{\Sigma_{2内}}$$

都解不出来，考虑化二型为一型p266【例5】（三十多年从来没考过，大冷门）
$\sum$的法向量为$(x,y,z)$，则$(\cos \alpha,\cos \beta,\cos\gamma)=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})$
$dydz=\cos\alpha dS、dzdx=\cos\beta dS、dxdy=\cos\gamma dS$代进去替换

出现三角函数，法向量，考虑两类面积分的关系，$dS$转化成$dxdy、dydz、dzdx$

转换投影法：张宇18讲 p416

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（2）多元函数积分应用

上图转动惯量是对x轴的

1. 变力做工

力：遇到的力的问题，肯定是要分解的，一般对称性会抵消掉一部分
功

2. 通量（磁通量，流量，电通量）

向量场
通量

• 题型一 求几何量

$dS=\sqrt{1+y_x'^2+y_z'^2}dxdz$
$dS=\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}dxdy$
$dS=\sqrt{1+x_y'^2+x_z'^2}dydz$

• 题型二 计算物理量

质量，质心，转动惯量（目前没考过）

奇函数平移巧算偏心圆

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（3）场论初步

散度，旋度，梯度

要求比较低

一般都是填空题，记公式，会算就行

↓↓↓线代：

32分
选择 5分*3；
填空 5分*1；
计算题 12分*1

每天一遍，不信记不住

一、行列式

• 方阵的行列式

$$\begin{align} &1. 若 \boldsymbol{A} 是 n 阶矩阵, \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} 是 \boldsymbol{A} 的转置矩阵,则 \left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right| = |\boldsymbol{A}| ; \nonumber\\ &2. 若 \boldsymbol{A} 是 n 阶矩阵,则 |k \boldsymbol{A}| = k^{n}|\boldsymbol{A}| ;\nonumber\\ &3. 若 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} 都是 n 阶矩阵, 则 |\boldsymbol{A B}| = |\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| ; \nonumber\\ &4. 若 \boldsymbol{A} 是 n 阶矩阵,则 \left|\boldsymbol{A}^{*}\right| = |\boldsymbol{A}|^{n-1} ;\nonumber\\ &5. 若 \boldsymbol{A} 是 n 阶可逆矩阵,则 \left|\boldsymbol{A}^{-1}\right| = \left.|\boldsymbol{A}\right|^{-1} ;\nonumber\\ &6. 若 \boldsymbol{A} 是 n 阶矩阵, \lambda_{i}(i = 1,2, \cdots, n) 是 \boldsymbol{A} 的特征值, 则 |\boldsymbol{A}| = \prod_{i = 1}^{n} \lambda_{i} ;\nonumber\\ &7. 若 n 阶矩阵 \boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B} 相似, 则 |\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{B}|,|\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}| = |\boldsymbol{B}+k \boldsymbol{E}| .\nonumber \end{align}$$

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• 杂记

克拉默法则的推论：
对于齐次线性方程组的系数行列式$|A|$有：
$|A|\ne0$，方程组只有零解（唯一解）
$|A|=0$，方程组有非零解（无解或解不为1）

$|A|\ne0$，$A$可逆，$r(A)\ge1$
$|A|=0$，$A$不可逆，$r(A)=1$

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• 主要公式

主副对角线：简单不写

拉普拉斯展开式：

$$\begin{align} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} &\boldsymbol{*} \\ \boldsymbol{O} &\boldsymbol{B} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} &\boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{*} &\boldsymbol{B} \end{vmatrix} = |\boldsymbol{A}|·|\boldsymbol{B}|\nonumber\\ \begin{vmatrix} \boldsymbol{*} &\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} &\boldsymbol{O} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} \boldsymbol{O} &\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} &\boldsymbol{*} \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|\boldsymbol{A}|·|\boldsymbol{B}|,\boldsymbol{A}\to m,\boldsymbol{B}\to n\nonumber \end{align}$$

范德蒙行列式：$\prod(右-左)$

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二、矩阵

• 秩

$$\begin{align} &1.\;r(\boldsymbol{A}) = r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T} }\right) =r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T} } \boldsymbol{A}\right)=r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T} }\right) \nonumber \\ &2.当 k \neq 0 时, r(k \boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}) ;\nonumber \\ &\;\;\;\;r(0\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A});\nonumber \\ &\;\;\;\;r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A});\nonumber \\ &3.\;r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) ; \nonumber \\ &4.\;r(\boldsymbol{A B}) \leqslant \min (r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B}) ) ; \nonumber \\ &\;\;\;若 \boldsymbol{A} 可逆, 则 r(\boldsymbol{A B}) = r(\boldsymbol{B}), r(\boldsymbol{B A}) = r(\boldsymbol{B}) ; \nonumber \\ &\;\;\;若 \boldsymbol{A} 列满秩, 则 r(\boldsymbol{A B}) = r(\boldsymbol{B}) ;\nonumber \\ &5.\max \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\} \leqslant r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leqslant r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \text {; } \nonumber \\ &6.若 \boldsymbol{A} 是 m \times n 矩阵, \boldsymbol{B} 是 n \times s 矩阵, \boldsymbol{A B} = \boldsymbol{O} , 则 r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant n ;\nonumber \\ &7.\;r\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} \;\; \boldsymbol{O} \nonumber \\ \boldsymbol{O} \;\; \boldsymbol{B}\nonumber \end{array}\right] = r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \text {; }\nonumber \\ &8.若 \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B} , 则 r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}), r(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) = r(\boldsymbol{B}+k \boldsymbol{E}) .\nonumber \\ &9.r(\boldsymbol{A}^*)=\left\{\begin{matrix} n , \;\;\;\;\;\;\;r(\boldsymbol{A})=n\;\;\;\;\;\;\nonumber\\ 1, \;\;\;\;\;\;\;r(\boldsymbol{A})=n-1\nonumber \\ 0 , \;\;\;\;\;\;\;r(\boldsymbol{A})<n-1\nonumber \end{matrix}\right. \end{align}$$

常用结论：
$Ax=0$，则有$n-r(A)$个无关的解向量；$r(A)$ < 未知数的个数n，齐次方程组有非零解
三秩相等：$r(A)=A的行秩=A的列秩$，所以后面向量的秩和矩阵的秩可以互相研究

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• 转置矩阵

$$\begin{align} &1.\; ( \boldsymbol{A}^T)^T= \boldsymbol{A}\nonumber\\ &2.\; \boldsymbol{A}^T+ \boldsymbol{B}^T=( \boldsymbol{A}+ \boldsymbol{B})^T\nonumber\\ &3.\; (k \boldsymbol{A})^T=k \boldsymbol{A}^T\nonumber\\ &4.\; ( \boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^T= \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T\nonumber \end{align}$$

tips：$\begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix} \alpha_1^T\\ \alpha_2^T\\ \alpha_3^T \end{pmatrix}$

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• 伴随矩阵

$$\begin{align} &1.\; \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^*= \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=| \boldsymbol{A}|E\nonumber\\ &2.\; \boldsymbol{A}^*=| \boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1},\;\;| \boldsymbol{A}^*|=| \boldsymbol{A}|^{n-1}\nonumber\\ &3.\; ( \boldsymbol{A}^*)^{-1}=( \boldsymbol{A}^{-1})^*=\frac1{| \boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}\nonumber\\ &4.\; ( \boldsymbol{A}^*)^T=( \boldsymbol{A}^T)^*,\;\;(k \boldsymbol{A})^*=k^{n-1} \boldsymbol{A}^*,\;\;( \boldsymbol{A}^*)^*=| \boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}\nonumber\\ &5.\;r(\boldsymbol{A}^*)=\left\{\begin{matrix} n , \;\;\;\;\;\;\;r(\boldsymbol{A})=n\;\;\;\;\;\;\nonumber\\ 1, \;\;\;\;\;\;\;r(\boldsymbol{A})=n-1\nonumber \\ 0 , \;\;\;\;\;\;\;r(\boldsymbol{A})<n-1\nonumber \end{matrix}\right. \nonumber\\ &6.\;\boldsymbol A^*\alpha=\frac{|\boldsymbol A|}{\lambda}\alpha \nonumber \end{align}$$

二阶的伴随：主对角线互换，副对角线变号

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• 可逆矩阵

性质：

$$\begin{align} &1.\; (\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A},\;\;(k\boldsymbol{A})^{-1}=\frac1k\boldsymbol{A}^{-1}(k\ne0)\nonumber\\ &2.\; (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1},\;\;(\boldsymbol{A}^n)^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^n\nonumber\\ &3.\; (\boldsymbol{A}^{-1})^T=(\boldsymbol{A}^T)^{-1},\;\;|\boldsymbol{A}^{-1}|=\frac1{|\boldsymbol{A}|}\nonumber\\ &4.\; \boldsymbol{A}^{-1}=\frac1{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*\nonumber \end{align}$$

重要定理：

$$\begin{aligned} n \text { 阶矩阵 } \boldsymbol{A} \text { 可逆 } & \Leftrightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0 \nonumber\\ & \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=n \nonumber\\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \text { 的列 (行) 向量组线性无关 } \nonumber\\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{P}_2 \cdots \boldsymbol{P}_s, \boldsymbol{P}_i(i=1,2, \cdots, s) \text { 是初等矩阵 } \nonumber\\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \text { 与单位矩阵等价 } \nonumber\\ & \Leftrightarrow 0 \text { 不是矩阵 } \boldsymbol{A} \text { 的特征值. }\nonumber \end{aligned}$$

二阶的可逆：主对角线互换，副对角线变号，再乘以$\frac1{|A|}$

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• 等价矩阵

性质：$A$和$B$是同形矩阵

$$\begin{align} \boldsymbol{A}和\boldsymbol{B}等价&\Leftrightarrow \boldsymbol{A}经过初等行变换得到\boldsymbol{B} \nonumber\\ & \Leftrightarrow \boldsymbol{PAQ}=\boldsymbol{B}\nonumber\\ &\Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B}) \nonumber \end{align}$$

区别于：$向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)等价^{\Rightarrow}_{\nLeftarrow}r(Ⅰ)=r(Ⅱ)$

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• 正交矩阵

性质：

$$\begin{align} \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=E&\Leftrightarrow \boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}^{-1} \nonumber\\ &\Rightarrow |\boldsymbol{A}|^2=1\nonumber\\ \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}都是正交矩阵&\Rightarrow \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}也是正交矩阵\nonumber \end{align}$$

几何意义：矩阵的行/列向量的内积=1（单位向量），行/列向量两两正交（相乘=0）

• Schmidt正交化

如果$\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3$线性无关

正交化：

$$\begin{align} &{\color{Brown} \beta_1} = \alpha_1 \nonumber\\ & {\color{Blue} \beta_2} =\alpha _2-\frac{(\alpha_2,{\color{Brown} \beta _1} )}{({\color{Brown} \beta_1} ,{\color{Brown} \beta_1} )}{\color{Brown} \beta_1} \nonumber\\ &\beta_3=\alpha _3- \frac{(\alpha_3,{\color{Brown} \beta _1} )}{({\color{Brown} \beta_1} ,{\color{Brown} \beta_1} )}{\color{Brown} {\color{Brown} \beta_1} } - \frac{(\alpha_3,{\color{Blue} \beta_2})}{({\color{Blue} {\color{Blue} \beta_2} },{\color{Blue} \beta_2})}{\color{Blue} \beta_2} \nonumber \end{align}$$

tips：正交化时，有分数，合并的时候把分数留在外面，因为单位化的时候，没有用，直接不用管。这样可以减少计算

单位化：

$$\gamma_1=\frac{\beta_1}{\left \| \beta_1 \right \| }, \gamma_2=\frac{\beta_2}{\left \| \beta_2 \right \| }, \gamma_3=\frac{\beta_3}{\left \| \beta_3 \right \| }$$

---

• 分块矩阵

$$\begin{align} &\boldsymbol A、\boldsymbol B、\boldsymbol C、\boldsymbol D不一定是方阵:\nonumber \\ &\begin{bmatrix} \boldsymbol{A}_1& \boldsymbol{A}_2\\ \boldsymbol{A}_3& \boldsymbol{A}_4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \boldsymbol{B}_1& \boldsymbol{B}_2 \\ \boldsymbol{B}_3& \boldsymbol{B}_4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \boldsymbol{A}_1+ \boldsymbol{B}_1 & \boldsymbol{A}_2+ \boldsymbol{B}_2\\ \boldsymbol{A}_3+ \boldsymbol{B}_3& \boldsymbol{A}_4+ \boldsymbol{B}_4 \end{bmatrix}\nonumber \\ &\begin{bmatrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{D} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \boldsymbol{X}& \boldsymbol{Y} \\ \boldsymbol{Z}& \boldsymbol{W} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+ \boldsymbol{B} \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{Y}+ \boldsymbol{B} \boldsymbol{W}\\ \boldsymbol{C} \boldsymbol{X}+ \boldsymbol{D} \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{C} \boldsymbol{Y}+ \boldsymbol{D} \boldsymbol{W} \end{bmatrix}\nonumber \\ & \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{D} \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^T & \boldsymbol{C}^T\\ \boldsymbol{B}^T & \boldsymbol{D}^T \end{bmatrix}\nonumber \\ \nonumber \\ & 设 \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}分别是m阶,n阶:\nonumber \\ & \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^n& \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^n \end{bmatrix}\nonumber \\ & \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}& \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1}& \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{bmatrix}\nonumber \\ & \begin{bmatrix} \boldsymbol{O}& \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}& \boldsymbol{O} \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1}& \boldsymbol{O} \end{bmatrix}\nonumber \end{align}$$

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• 相似矩阵

定义：

$$A\sim B\Leftrightarrow\exists 可逆P,使P^{-1}AP=B$$

性质：

$$\begin{align} A\sim B&\Rightarrow|A|=|B|\nonumber\\ &\Rightarrow r(A)=r(B)\nonumber\\ &\Rightarrow |\lambda E-A|=|\lambda E-B|\Rightarrow\lambda _A=\lambda _B\nonumber\\ &\Rightarrow \sum a_{ii}=\sum b_{ii}\nonumber\\ \nonumber\\ &\Rightarrow A+kE\sim B+kE\nonumber\\ &\Rightarrow (A+kE)^n\sim (B+kE)^n\nonumber\\ \nonumber\\ &\Rightarrow P^{-1}A^nP=B^n\nonumber \end{align}$$

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• 实对称矩阵

性质：

$$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda,(Q是正交阵)$$

给出是实对称矩阵就两个点：1.可相似对角化；2.特征向量正交（知道一个，求别的）

• 反对称矩阵

定义：$A^T=-A$

性质：$a_{ii}\equiv 0,a_{ij}=-a_{ji}$；$|A|=|A^T|=|-A|=(-1)^n|A|$(可以分就讨论)

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• 合同矩阵

定义：

$$\exists 可逆C,使C^{T}AC=B$$

显然$B$是实对称的

性质：

$$\begin{align} &(1) A \simeq A \nonumber\\ &(2) 如 A \simeq B 则 B \simeq A \nonumber\\ &(3) 如 A \simeq B \quad B \simeq C 则 A \simeq C \nonumber \end{align}$$

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三、特征值、特征向量

$$\begin{align} &|A| = \prod\lambda _i\nonumber \\ &\sum\lambda _i=\sum a_{ii}=tr(A)(迹) \nonumber \end{align}$$

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考场上除非要特别证明这块，否则直接用

$A$	$\lambda$	$\alpha$
$A+kE$	$\lambda+k$	$\alpha$
$A^{-1}$	$\frac1\lambda$	$\alpha$
$A^*$	$\frac{|A|}{\lambda}$	$\alpha$
$A^n$	$\lambda^n$	$\alpha$
$P^{-1}AP$	$\lambda$	$p^{-1}\alpha$

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易错点

1、行列式相等和矩阵相等

$A=B \Rightarrow |A|=|B|$

$A\ne B\nRightarrow |A|\ne |B|$ ！！！

eg：$|A|=\begin{bmatrix} 1& 2\\ 0&1 \end{bmatrix}\ne E$，但$|A|=1$

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补充\总结的知识点

一、数学归纳法

• 第一数学归纳法

（1）验证 n=1 时，命题正确
（2）设 n=k 时，命题正确
（3）证明 n=k+1 时，命题正确
$\Rightarrow$ $\forall n$，命题 $f_n$ 正确

用例：$f_n=2f_{n-1}+3$

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• 第二数学归纳法

（1）验证 n=1, n=2 时，命题正确
（2）设 n<k 时，命题正确
（3）证明 n=k 时，命题正确
$\Rightarrow$ $\forall n$，命题 $f_n$ 正确

用例：$f_n=2f_{n-1}+3f_{n-2}$

讲义p12

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二、特征值、特征向量r(A) = 1时

结论：

$$\begin{align} &|\lambda E-A| = \lambda^{3}-\left(a_{11}+a_{22}+a_{33}\right) \lambda^{2}+S_{2} \lambda-|A| \nonumber\\ &S_{2} = \left|\begin{array}{ll} a_{11} a_{12} \nonumber\\ a_{21} a_{22} \nonumber \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} a_{22} a_{23} \nonumber\\ a_{32} a_{33} \nonumber \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} a_{11} a_{13} \nonumber\\ a_{31} a_{33} \nonumber \end{array}\right| \nonumber\\ \nonumber\\ &\text { 如 } r(A) = 1: \nonumber\\ &|\lambda E-A| = \lambda^{3}-\left(a_{11}+a_{23}+a_{33}\right) \lambda^{2} \nonumber\\ & = \lambda^{2}\left[\lambda-\left(a_{11}+a_{23}+a_{33}\right)\right] \nonumber\\ &\lambda_{1} = a_{11}+a_{22}+a_{33} \nonumber\\ &\lambda_{2} = \lambda_{3} = 0 \text {. } \nonumber\\ \nonumber\\ &推广: 对于n次方\nonumber\\ &|\lambda E-A| = \lambda^{n}-\sum a_{i i} \lambda^{n-1}\nonumber\\ &{\lambda_{1} = a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} } \nonumber\\ &\lambda_{2} = \cdots = \lambda_{n} = 0 \nonumber \end{align}$$

使用：

对于$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 \nonumber\\ 3 & 6 & -3 \nonumber\\ 2 & 4 & -2 \nonumber \end{bmatrix}$，显然每行成比例，$\lambda_1=5,\lambda_2=\lambda_3=0$；
如果是解答题就虚晃一枪$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 \nonumber\\ 3 & 6 & -3 \nonumber\\ 2 & 4 & -2 \nonumber \end{bmatrix}=\lambda^3-5\lambda^2$.

tips：$r(\alpha\beta^T)=1,迹=\beta^T\alpha=\alpha^T\beta$

tips：$|A|=0$ / $有非零解$，快速反应出有一个特征值为0

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结论和技巧

from 880

$a_{ij}=A_{ij}\Leftrightarrow A^T=A^* \Rightarrow |A|=0或1$

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from 真题

10年21题

对于正交矩阵，一定不要忘了向量相互正交，通常得到一个向量，然后就需要推出剩下的向量

还有不同特征值的特征向量相互正交

考点

各章考点题型和解法

▷ 第一章 行列式

tips：第一问不会写，但是可以用第一问的结论写第二问

• 题型一 行列式的概念和计算

• 数字型行列式：行/列展开

爪型：用对角线消去两边的一个抓

三对角线：逐行相加（一行加到二行，二行加到三行……），变成三角矩阵；或者每一行都加到第一行；或第二数学归纳法（利用参数求递推式eg:$D_n-kD_{n-1}=\mu(D_{n-1}-kD_{n-2})$）

带$x$的，求$x^n$的系数：先恒等变形，再行/列展开；或者逆序数展开。tips：求常数项，可以直接令x=0，算行列式的值

• 抽象型行列式：

$|A+ B|$型：$|A^{-1}+ B^{-1}|$、$|E-AB^{T}|$加的无法处理，想办法转成乘的 —— 乘$E\to AA^{-1}、BB^{-1}、正交(AA^{T}、BB^{T})$

用特征值找相似$|\lambda E-A|$

矩阵运算

除了主对角线长得不太一样，其他差不多？解法：加边法 880p55解答题（1）（2）

• 题型二 行列式的应用

特征多项式：关键就是降阶，要行展开，就是要某一行/列只有一个数，一般加两次，主要是观察

克拉默法则：多用在证明题；$|A|=0$

矩阵的秩

• 题型三 证明$|A|=0$？

（1）$Ax=0$有非0解（克拉默法则）
（2）反证法（用$A^{-1}$构造矛盾）
（3）$r(A)<n$
（4）0是特征值（$A=\prod\lambda_i$）
（5）$|A|=-|A|$

tips：$B\alpha=0$，$AB\alpha=0$，前式的解一定是后式的解（tips：若B是m*n矩阵，且m<n，那前式一定有非0解）

• 题型四 代数余子式求和

计算：关键就是构造新的行列式

可以借助伴随矩阵，然后使用伴随矩阵的性质

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▷ 第二章 矩阵

• 题型一 矩阵的运算

矩阵乘法注意三个点：p36（区别于普通乘法）

向量相乘注意是数还是矩阵，向量默认是一列，那么转置就是一行，行*列是数

$(E\pm A)^{-1}$? 解法：构造$(E\pm A)(…)=E$，构造可使用长除法 880p58 填空(7)（10）p59填空（4）
推广就是$(▅)^{-1}$的解法就是构造$(▅)(…)=E$

$\alpha\beta^T\Rightarrow r(\alpha\beta^T)=1$，除非直接等于0矩阵，所以特征值只有一个是值，其他是0，这个值就等于$\beta^T\alpha、\alpha^T\beta$

$\alpha^T\alpha=0\Rightarrow\alpha=0$

• 题型二 特殊矩阵的n次方

（1）$r(A)=1$：
有$A=\alpha\beta^T$，然后已知$\beta^T\alpha$是数，就可以求了

（2）$\begin{bmatrix} 0 & 0&0 \\ 2 & 0& 0\\ 1 & 3&0 \end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix} 1 & 2&4 \\ 0 & 1& 3\\ 0 & 0&1 \end{bmatrix}$ 、$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 &4 &5\\ 0 &0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} 0 & 0&0 \\ 2 & 0& 0\\ 1 & 3&0 \end{bmatrix}$，则有$A^2=\begin{bmatrix} 0& 0& 0\\ 0 & 0 & 0\\ 6 & 0 &0 \end{bmatrix}$，$A^3=\boldsymbol{O}$

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 &4 &5\\ 0 &0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$，则有$A^3=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 24\\ 0 & 0 &0 &0\\ 0 &0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$，$A^4=\boldsymbol{O}$

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2&4 \\ 0 & 1& 3\\ 0 & 0&1 \end{bmatrix}$，则有$A=E+B=E+\begin{bmatrix} 0 & 2&4 \\ 0 & 0& 3\\ 0 & 0&0 \end{bmatrix}$，$A^n=(E+B)^n=C_n^0E^n+C_n^1E^{n-1}B^1+C_n^2E^{n-2}B^2+…$，省略的内容含$B$三次方及以上为$\boldsymbol{O}$.

（3）$A\sim \Lambda$：
因为有$P^{-1}AP=B\Rightarrow P^{-1}A^nP=B^n$，所以将问题转化为求$\Lambda$的n次方

（4）初等矩阵：应该可以直接想得出来（讲义p52）

• 题型三 特殊矩阵

（1）伴随矩阵（核心公式$AA^*=A^*A=|A|E$）
用定义求的时候注意两点：1.代数余子的正负号别忘了；2.余子式的对应位置是反的;
用公式变形求$A^*=|A|A^{-1}$，前提是$A$可逆

常考$A^T=A^*$，解：$a_{ji}=A_{ji}$，再展开某一行

（2）可逆矩阵
定义：记住$AB=E$就能推可逆，反应得快
计算主要还是公式代换

tips：若$A$可逆，且$AB=0$，则$B=0$

（3）正交矩阵
$AA^T=A^TA=E,A^T=A^{-1}$；几何意义（单位向量，两两正交）

（4）行阶梯矩阵、行最简矩阵

• 题型四 初等变换、初等矩阵

初等矩阵（一次）
初等变换：倍乘（取倒数）、互换（不变）、倍加（取相反数）

考法一：给下标，观察做了什么变化
考法二：只给文字，解决：翻译一下

初等变化求逆矩阵$(A|E)\to(E|A^{-1})$

• 题型五 分块矩阵

带公式，简化计算

tips：p54求分块矩阵的逆，类似普通的那么做
eg: $\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} A&E\\ O&B \end{matrix}& \begin{matrix} E&O\\ O&E \end{matrix} \end{array} \right ]\to\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} E&O\\ O&E \end{matrix}& \begin{matrix} A^{-1}&-A^{-1}B^{-1}\\ O&B^{-1} \end{matrix} \end{array} \right ]$

• 题型六 矩阵秩的计算

• 题型七 矩阵方程

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▷ 第三章 n维向量

• 题型一 线性相关、无关

（1）判断n个向量是否线性相关？问题转化为齐次方程组是否有非零解的问题，那么就是算系数矩阵$(\alpha_1,…,\alpha_n)$的秩是否小于未知数的个数（合理无所谓是行向量还是列向量）

（2）证明$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$无关

1. 定义法
   设$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+…+k_s\alpha_s=0$，再通过变形(乘/重新组合)，说明$k_i$必定全部为0
   隐含条件：$\alpha$是特征向量，$\alpha\ne0$
2. 秩
   证出$r(\alpha_1,\alpha_2…\alpha_s)=s$
   技巧：
   $r(A)=A列秩=A行秩$；
   $r(AB)\le min \{r(A),r(B)\}$，
   若$A$可逆$r({A B}) = r({B}), r({B A}) = r({B})$;
   $若 {A} 列满秩, 则 r({A B}) = r{B})$
   $若 A 是 m\times n 矩阵, B 是 n \times s 矩阵, A B = O, 则 r(A)+r(B) \leqslant n$
3. 反证法

特征值和线性无关的关系：不同特征根的特征向量线性无关；m重特征根，这个特征根的线性无关的特征向量数不超过m，且和其他特征根的特征向量线性无关。

• 题型二 线性表出

（1）判断能不能线性表出？问题转化为非齐次线性方程组有没有解 $\Leftrightarrow r(\alpha_1,…,\alpha_n)=r(\alpha_1,…,\alpha_n,\beta)$
具体的：计算；抽象的：1.定理（eg:p68定理3.6），2.秩，3.反证法

（2）向量组表出？按上面的方法，就是增广矩阵叠在一起来加减消元
重要结论：若$\alpha_1,…,\alpha_n$不能由$\beta_1,…,\beta_t$表出，则$r(\alpha_1,…,\alpha_n)$和$r(\beta_1,…,\beta_t)$无关
但是若$\alpha_1,…,\alpha_n$能由$\beta_1,…,\beta_t$表出，且$\beta_1,…,\beta_t$不能由$\alpha_1,…,\alpha_n$表出，则$r(\alpha_1,…,\alpha_n)<r(\beta_1,…,\beta_t)$

方法总结：

1. 构造方程组，证明方程组有解
   $r(\alpha_1,…,\alpha_n)=r(\alpha_1,…,\alpha_n,\beta)$
2. 找出两个关系：
   $\alpha_1,…,\alpha_n$ 线性无关
   $\alpha_1,…,\alpha_n,\beta$ 线性相关
3. 证明某个$k_i\ne0$ （能表出的时候用）
   $k_i\ne0$，可以做分母，除系数
4. 反证法（不能表出的时候用）

• 题型三 向量组的秩

计算，化成行阶梯型（行最简型），那些个1就是极大无关组

• 题型四 矩阵秩的证明

巧用定理、公式

对于分块矩阵，可以通过乘一个可逆矩阵，变成$\begin{bmatrix} A & O\\ O &B \end{bmatrix}$形式然后套公式；
那怎么求这个矩阵呢，前面提过:$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} A&E\\ O&B \end{matrix}& \begin{matrix} E&O\\ O&E \end{matrix} \end{array} \right ]$

• 题型五 向量空间

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▷ 第四章 线性方程组

• 题型一 基础解系、$n-r(A)$

（1）行最简（取相反数）

第一步：化为行最简
第二步：$n-r(A)$
第三步：一次的写出通解

eg:
1、$\begin{bmatrix} {\color{Blue} 1} & 0& 2& 0& 4\\ & {\color{Blue} 1}& -3&0 &5 \\ & & & {\color{Blue} 1}&-6 \end{bmatrix}$

2、$n-r(A)=2$

3、$x= k_1\begin{bmatrix} -2\\ 3\\ {\color{Red} 1} \\ 0\\ {\color{Red} 0} \end{bmatrix} +k_2\begin{bmatrix} 4\\ -5\\ {\color{Red} 0} \\ 6\\ {\color{Red} 1} \end{bmatrix}$

（2）单位阵（取相反数）

注：$k_i$为任意常数

有方程组的题 —— 加减消元
没有方程组的题 —— 从秩开始分析（1.是解 2.线性无关 3.$n-r(A)$）

• 题型二 解方程组$Ax=b$，解的结构

第一步：增广矩阵化为行最简
第二步：$n-r(A)$
第三步：一次写出：特解（建议令自由变量都=0）+ 齐次方程组的通解

eg:
1、$\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} {\color{Blue} 1} & 0& 2& 0& 4\\ & {\color{Blue} 1}& -3&0 &5 \\ & & & {\color{Blue} 1}&-6 \end{matrix}& \begin{matrix} 7\\ 9\\10 \end{matrix} \end{array} \right ]$

2、$n-r(A)=2$

3、$x=\begin{bmatrix} 7\\ 9\\ {\color{Red} 0} \\ 10\\ {\color{Red} 0} \end{bmatrix} +k_1\begin{bmatrix} -2\\ 3\\ {\color{Red} 1} \\ 0\\ {\color{Red} 0} \end{bmatrix} +k_2\begin{bmatrix} 4\\ -5\\ {\color{Red} 0} \\ 6\\ {\color{Red} 1} \end{bmatrix}$

抽象方程，那么就是考察解的结构：
先找$n-r(A)$，判断解的结构；
再找出齐次的无关的解，还有非齐次特解即可

• 题型三 有解判定、解的结构、性质

齐次方程：

• 零解 —— $r(A)=n$
• 非零解 —— $r(A)<n$

非齐次方程：

• 无解 —— $r(A)+1=r(\overline A)$

• 有解 —— $r(A)=r(\overline A)$

  • 唯一解 —— $r(A)=r(\overline A)=n$
  • 无穷解 —— $r(A)=r(\overline A)<n$

• 题型四 两个方程组公共解、同解

（1）公共解

考法一：给两个方程组
公共解就是两个方程联立的解（2分）
加减消元（2分）
解求对（2分）（满分）

考法二：一个方程组，另一个给基础解系
先求出给出方程组的基础解系$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_2$;
再假设出公共解$\gamma=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=-y_1\beta_1-y_2\beta_2$ —— （1）；
求新的齐次方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+y_1\beta_1+y_2\beta_2=0$
 即$\begin{bmatrix} \alpha _1& \alpha _2& \alpha _3 & \beta _1&\beta _2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ y_1\\ y_2 \end{bmatrix}=0$；
解出来后带回（1）式；

（2）同解$r(A)=r(B)$

考法一：给方程组，求方程组中的参数
一个一个求，求出一个方程组中的参数后，再求出它的通解
通解代入另一个方程中
如果有产生多个答案，验证$r(A)=r(B)$

考法二：证明同解
即：证明(Ⅰ)的解一定是(Ⅱ)的解

结论：$Ax=0、A^TAx=0$同解，$A^nx=0、A^{n+1}x=0$同解

• 题型五 方程组的应用

考法一：求一个具体的矩阵
将待求矩阵的每个位置设出来($x_i$)
用题目给的式子，展开，列出每个方程
最后解方程得到矩阵的每一值（解）

其他：相关无关，线性表出、……

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▷ 第五章 特征值和特征向量

• 题型一 求特征值、特征向量

特征值n个

1）$A\alpha=\lambda\alpha,(\alpha\ne0)$
2）$|\lambda E-A|=0,(\lambda_i E-A)=0$
3）如$P^{-1}AP=B$，
若$A\alpha=\lambda\alpha$，则$B(P^{-1}\alpha)=\lambda(P^{-1}\alpha)$;
若$B\alpha=\lambda\alpha$，则$A(P\alpha)=\lambda(P\alpha)$

数字型矩阵：

简单计算特征值：关键就是降阶，要行展开，就是要某一行/列只有一个数，一般加两次，主要是观察

简单计算特征向量：代入特征值

求特征向量时，偷懒：计算特征向量时，代入$\lambda$后，$|A|=0$，那么红框矩阵的秩一定$\le2$，又显然有一个不为0的二阶子式，所以秩为2。又显然，每行两两不成比例，即两两无关，则随便去掉一行即可（因为随便一行一定都可由另外两行表示，即消去）

抽象型矩阵：

tips：$A\alpha=0=0\alpha$，即齐次方程的解（$\alpha$）是特征值为0的特征向量

套结论（记在上面）、套定义

相似矩阵：

套结论，套定义

• 题型二 相似、相似对角化

（1）如何证明$A\sim B$
相似的传递性：先证$A\sim \Lambda$，再证$B\sim \Lambda$，则有$A\sim B$

tips：解题关键在于：找中介

（2）能不能相似对角化
一般思路是，先求特征值，若特征值不同，那么相似；若有重根（假设k重），则算秩（要$n-r(\lambda_iE-A)=k$）

• 题型三 求参数的问题

利用 相似 的必要条件；p123
由 特征向量 构造 方程组；
相似对角化 原理。

• 题型四 求相似于对角矩阵时的可逆矩阵P

1）预处理（变成正常可算的矩阵）
2）求特征值 $\lambda _1\;\lambda_2\;\lambda_3$
3）求特征向量 $\alpha _1\;\alpha _2\;\alpha _3$
4）构造P $P=[\alpha _1\;\alpha _2\;\alpha _3],P^{-1}AP=\Lambda=\begin{bmatrix} \lambda_1&& \\ & \lambda_2& \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}$

• 题型五 用相似求$A^n$

若$A\sim \Lambda$，则$P^{-1}AP=\Lambda$，从而$P^{-1}A^nP=\Lambda^n$，故$A^n=P\Lambda^nP^{-1}$

• 题型六 反求矩阵A

有了特征值特征向量，怎么求矩阵？

• 题型七 实对称矩阵

套性质

求正交矩阵$Q$使得$Q^{-1}AQ\sim\Lambda$?
1）预处理（变成正常可算的矩阵）
2）求特征值 $\lambda _1\;\lambda_2\;\lambda_3$
3）求特征向量 $\alpha _1\;\alpha _2\;\alpha _3$
4）改造特征向量
 (1)如$\lambda_i\ne\lambda_j$，则只需要单位化
 (2)如$\lambda_i=\lambda_j$，若已正交，则只单位化；若不正交，Schmidt正交化
5）构造正交矩阵Q $Q=[\gamma _1\;\gamma _2\;\gamma _3],Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\begin{bmatrix} \lambda_1&& \\ & \lambda_2& \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}$

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▷ 第六章 二次型

• 题型一 二次型的基本概念

二次型的矩阵A是对称矩阵且唯一；

秩$r(f)=r(A)$;

正负惯性指数$p,q$;

坐标变换$x=Cy$，$C$可逆；

合同的概念性质

• 题型二 二次型的标准形、规范形

方法一：配方法

没有平方项怎么办？先预处理，坐标变换一次，再配方法

方法二：正交变换法

0）由$f$写出二次型矩阵$A$
1）预处理（变成正常可算的矩阵）
2）求特征值 $\lambda _1\;\lambda_2\;\lambda_3$
3）求特征向量 $\alpha _1\;\alpha _2\;\alpha _3$
4）改造特征向量
 (1)如$\lambda_i\ne\lambda_j$，则只需要单位化
 (2)如$\lambda_i=\lambda_j$，若已正交，则只单位化；若不正交，Schmidt正交化
5）构造正交矩阵Q $Q=[\gamma _1\;\gamma _2\;\gamma _3],Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\begin{bmatrix} \lambda_1&& \\ & \lambda_2& \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}$
6）写出坐标变换，得标准形：令$x=Qy$，得$x^TAx=\lambda_1y_1+\lambda_2y_2+\lambda_3y_3$

如果是求参数的题，抓住正交矩阵的性质。

规范形：肯定先得变成标准形，再变成规范形，那么标准形怎么变成规范形？

一个例题：关键就是比大小

怎么求正负惯性指数？配方法、正交变换法

考二次型方程对应的二次曲面是什么？看正负惯性指数，
两正一负：单叶双曲面
两负一正：双叶双曲面
三正：椭球面

• 题型三 二次型的正定性

4个充要条件p157

抽象矩阵怎么证明是正定矩阵？1.证明是对称的；2.特征值大于0 / $x^TAx>0$ / ……

• 题型四 矩阵的等价、相似、合同

判断等价$\Leftrightarrow$看秩相不相同

判断相似：先证$A\sim \Lambda$，再证$B\sim \Lambda$，则有$A\sim B$
 实对称矩阵，判断相似$\Leftrightarrow$特征值相同 （没有条件的话，特征值相同是相似的必要条件）

判断不相似：
1）$|A|\ne|B|;r(A)\ne r(B);\lambda_A\ne\lambda_b;\sum a_{ii}\ne\sum b_{ii}$
2）$A\sim \Lambda$，但$B$不可相似对角化
3）$A\sim B \Leftrightarrow A+kE\sim B+kE$

判断合同：$A\simeq B\Leftrightarrow p_A=p_B,q_A=q_B$(正负惯性指数相同，通过配方，特征值判断)

求合同矩阵：就是求坐标变换矩阵

↓↓↓概率论：

32分
选择 5分*3；
填空 5分*1；
计算题 12分*1

特点：概念性强，重难点突出（分布，正态，独立），综合性强

每天一遍，不信记不住

一、概率分布

• 离散型随机变量的概率分布：

$$\begin{align} \mathbf{二项分布} ：&{\color{Blue} X\sim B(n,p) } \;\;\;(0<p<1)\nonumber\\ &P\{X=k\}=C_n^kp^kq^{n-k},k=0,1,2,…,n\nonumber\\ &\sum _{k=0}^nC_n^kp^kq^{n-k}=(p+q)^n=1,k=0,1,2,…,n\nonumber\\ & E(x)=np,D(x)=np(1-p)\nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{两点分布} ：&{\color{Blue} X\sim B(1,p)} \;\;\;(0<p<1)\;\;\;(\mathbf{0-1分布、伯努利分布})\nonumber\\ &P\{X=k\}=C_n^kp^kq^{n-k},k=0,1\nonumber\\ & E(x)=p,D(x)=p(1-p)\nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{泊松分布} ：&{\color{Blue} X\sim P(\lambda )}\;\;\;(\lambda >0){\color{Brown} （间隔无记忆性）}\nonumber\\ &P\{X=k\}=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda } }{k!},k=0,1,2,…\nonumber\\ &ps:0!=1\nonumber\\ &E(x)=\lambda,D(x)=\lambda\nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{几何分布} ：&{\color{Blue} X\sim G(p)} \;\;\;(0<p<1){\color{Brown} （无记忆性）} \nonumber\\ &P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},k=1,2,…\nonumber\\ &E(X)=\frac 1p,D(x)=\frac{1-p}{p^2}\nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{超几何分布} ：&{\color{Blue} X\sim H(n,M,N)}\nonumber\\ &P\{X=k\}=\frac{C_M^k·C_{N-M}^{n-k} }{C_N^n},k=0,1,2,…l\nonumber\\ &N件产品中有M件次品，取出n件（不放回），有X件次品\nonumber\\ &E(x)=\frac{nM}{N},D(X)=\frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1})\nonumber \end{align}$$

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• 连续型随机变量的概率分布

一维：

$$\begin{align} \mathbf{均匀分布} ：&{\color{Blue} X\sim U(a,b)} \nonumber\\ & 概率密度：f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac1{b-a},\;\;a<x<b\nonumber\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他\nonumber \end{matrix}\right. \nonumber\\ & 分布函数：F(x)=\int_{-\infty}^xf(x)dx=\left\{\begin{matrix} 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x<a\;\;\;\;\;\;\nonumber\\ \frac{x-a}{b-a},\;\;\;\;\;\;a\le x<b\nonumber\\ 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\ge b\;\;\;\;\;\;\nonumber\\ \end{matrix}\right. \nonumber\\ & E(X)=\frac{a+b}2,D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{指数分布} ：&{\color{Blue} X\sim e(\lambda )} {\color{Brown} （无记忆性）} \nonumber\\ &概率密度：f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} , \;\;\;\;\;x\ge0\nonumber\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x<0\nonumber \end{matrix}\right. \;\;(\lambda >0)\nonumber\\ &分布函数：F(x)=\int_{-\infty}^xf(x)dx=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x} , \;x\ge0\nonumber\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x<0\nonumber \end{matrix}\right. \;\;(\lambda >0)\nonumber\\ & E(X)=\frac1\lambda,D(X)=\frac1{\lambda^2}\nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{正态分布} ：&{\color{Blue} X\sim N(\mu ,\sigma^2)} \nonumber\\ &概率密度：\varphi(x)=\frac1{\sqrt[]{2\pi}\sigma }e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}} ,-\infty<x<+\infty\nonumber\\ &分布函数：F(x)=\int_{-\infty}^x\frac1{\sqrt[]{2\pi}\sigma }e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dt \nonumber\\ &分布函数：\varPhi(x)=\int_{-\infty}^x\frac1{\sqrt[]{2\pi} }e^{-\frac{t^2}{2}}dt,(标准正态分布)\nonumber\\ &化为正态分布的方法：1.配平方、2.除系数、3.添因子\nonumber\\ &概率积分：\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\nonumber\\ &E(X)=\mu,E(aX+b)=aE(X)+b\nonumber\\ &D(X)=\sigma^2,D(aX+b)=a^2D(X)\nonumber\\ &\Rightarrow aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\nonumber \end{align}$$

二维：

$$\begin{align} \mathbf{均匀分布} ： \nonumber\\ & 概率密度：f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac1{G的面积},\;\;(x,y)\in G\nonumber\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他\nonumber \end{matrix}\right. \nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{二维正态分布} ：&{\color{Blue} (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho )} \;\;(-1<\rho<1)\nonumber\\ & X的边缘分布：N(\mu_1,\sigma _1^2)，Y的边缘分布：N(\mu_2,\sigma _2^2)\nonumber \\ & X与Y独立的{\color{Green} 充要条件} 是\rho =0\nonumber \\ & X与Y的非零线性组合(aX+bY,cX+dY)仍是二维正态分布 \nonumber \\ & X与Y的线性组合aX+bY仍是正态分布\nonumber \\ & a X+b Y \sim N\left(a \mu_{1}+b \mu_{2}, a^{2} \sigma_{1}^{2}+b^{2} \sigma_{2}^{2}+2 a b \rho \sigma_{1} \sigma_{2}\right)\nonumber \end{align}$$

如上图：1.边缘，2.独立，3.降维打击

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二、数字特征

• 期望和方差

期望的性质：
（1）$E(c)=c$
（2）$E(cX)=cE(X)$
（3）$E(aX+bY)=aEX+bEY$
（4）若$X$和$Y$相互独立，则有 $E(XY)=E(X)E(Y)$，反之不成立
（5）$E(XY)=E(X)E(Y)\Leftrightarrow X$与$Y$不相关

方差的定义：
（1）$D(X)=E[X-E(X)]^2$
（2）常用变形：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，这个也常这样用$E(X^2)=[E(X)]^2+D(X)$

方差的性质：
（1）$D(c)=0$
（2）$D(cX)=c^2D(X),D(aX+b)=a^2D(X)$
（3）$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$
（4）若$X$和$Y$相互独立，则有 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$，反之不成立
（5）$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\Leftrightarrow X$与$Y$不相关
（6）若$X$和$Y$相互独立，且$E(X)=E(Y)=0$，则 $D(XY)=D(X)D(Y)$
（7）对任意常数$c\ne E(X)$，有$D(X)\lt E[(X-c)^2]$
（8）对任意的随机变量$X$，$D(X)\ge0$，且$D(X)=0 \Leftrightarrow P\{X=E(X)\}=1$

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• 协方差和相关系数

协方差的定义：
（1）$Cov(X,Y)= E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$
（2）$Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)$
（3）$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2Cov(X,Y)$

协方差的性质：
（1）$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
（2）$Cov(X,X)=D(X)$
（3）$Cov(X,c)=0$
（4）$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$
（5）$Cov(X_1+X_2,Y_1+Y_2)=Cov(X_1,Y_1)+Cov(X_1,Y_2)+Cov(X_2,Y_1)+Cov(X_2,Y_2)$
（6）若$X$和$Y$相互独立，则$Cov(X,Y)=0$

相关系数的定义：
$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$

相关系数的性质：
（1）$|\rho_{XY}|\le1$
（2）$|\rho_{XY}|=1\Leftrightarrow P\{Y=aX+b\}=1$，
且当$a>0$（正相关）时，$\rho_{XY}=1$；当$a<0$（负相关）时，$\rho_{XY}=-1$

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• 不相关和独立

不相关的定义：$\rho_{XY}=0$

不相关的性质：

$$\begin{aligned} \rho_{X Y}=0 & \Leftrightarrow Cov(X, Y)=0 \nonumber\\ & \Leftrightarrow E(X Y)=E(X) E(Y) \nonumber\\ & \Leftrightarrow D(X \pm Y)=D(X)+D(Y) \nonumber \end{aligned}$$

独立的性质：$X_1=f(A_1),X_2=f(A_2)$，$A_1、A_2$独立，那么$X_1、X_2$也独立

不相关和独立：
（1）$X与Y独立^{\Rightarrow}_{\nLeftarrow}X与Y不相关$
（2）若X与Y的联合分布是二维正态分布，则 $X与Y独立\Leftrightarrow X与Y不相关$

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三、数理统计

• 常用的统计量

$$\begin{align} &设 X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 为来自总体 X 的简单随机样本, 以下为常用的统计量:\nonumber \\ &\mathbf{(1) 样本均值} \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} ; \;\;{\color{Violet} E\overline{X}=\mu ;D\overline{X}=\frac{\sigma^2}n} ;\nonumber \\ &\mathbf{(2) 样本方差} S^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i = 1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}-n \overline{X}^{2}\right) ;\;\;{\color{Violet} ES^2=\sigma^2} \nonumber \\ &(3) 样本标准差 S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i = 1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}} ;\nonumber \\ &(4) 样本的 k 阶原点矩 A_{k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{k}, k = 1,2, \cdots ;\nonumber \\ &(5) 样本的 k 阶中心矩 B_{k} = \frac{1}{n} \sum^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{k}, k = 2,2, \cdots ;\nonumber \end{align}$$

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• 统计分布

ps：下面$X_1,X_2,…,X_n$和$Y_1,Y_2,…,Y_n$都服从$N(0,1)$，且相互独立

$$\begin{align} \mathbf{\chi^2分布} :&{\color{Blue} \chi^2\sim\chi^2(n)}\nonumber \\ &形式:X_1^2+X_2^2+…+X_n^2\nonumber\\ &自由度:n=平方个数\nonumber\\ &特性:E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n\nonumber\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\chi_1^2+\chi_2^2\sim\chi^2(n_1+n_2)\nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{t分布} :&{\color{Blue} T\sim t(n)} \nonumber\\ &形式:\frac{X}{\sqrt[]{(Y_1^2+Y_2^2+…+Y_n^2)/n} } \nonumber\\ &自由度:n=根号内平方个数\nonumber\\ &特性:图形关于y轴对称\nonumber\\ \nonumber\\ \mathbf{F分布} :&{\color{Blue} F\sim F(m,n)} \nonumber\\ &形式:\frac{(X_1^2+X_2^2+…+X_n^2)/m}{(Y_1^2+Y_2^2+…+Y_n^2)/n} \nonumber\\ &自由度:m=分子平方个数，n=分母平方个数\nonumber\\ &特性:\frac{1}{F(m,n)}\sim F(n,m) \nonumber \end{align}$$

tips：若$T\sim t(n)$，则有$T^2\sim F(1,n)$

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• 正态统计量的分布

单正态总体：

$$\begin{align} &(1) 关于 \overline{X} :\nonumber\\ &\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2} }{n}\right), \quad {\color{Blue} \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n} } \sim N(0,1)} ;\nonumber\\ \nonumber\\ &(2) 关于 S^{2} :\nonumber\\ &{\color{Black} \frac{1}{\sigma^{2} } \sum_{i = 1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2} = \sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)} ;\nonumber\\ &\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{X_{i}-\overline{X} }{\sigma}\right)^{2}={\color{Blue} \frac{(n-1) S^{2} }{\sigma^{2} } \sim \chi^{2}(n-1)} \Rightarrow DS^2=\frac2{n-1}\sigma^4\nonumber \\ \nonumber\\ &(3) \overline{X} 与 S^{2} 相互独立, 且有\nonumber\\ &{\color{Blue} \frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n} } \sim t(n-1)} .\nonumber \end{align}$$

两个正态总体：

$$\begin{align} &(1) 关于均值 :\nonumber\\ &\overline{X} \pm \overline{Y} \sim N\left(\mu_{1} \pm \mu_{2}, \frac{\sigma_{1}^{2} }{n_{1} }+\frac{\sigma_{2}^{2} }{n_{2} }\right), \quad {\color{Blue} \frac{(\overline{X} \pm \overline{Y})-\left(\mu_{1} \pm \mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2} }{n_{2} } } } \sim N(0,1)} ，\nonumber\\ \nonumber\\ &(2) 关于方差:\nonumber\\ &{\color{Blue} \frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2} }{\sigma_{1}^{2} }+\frac{\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{\sigma_{2}^{2} } \sim \chi^{2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right),} \nonumber \\ &\frac{\frac{1}{\sigma_{1}^{2} } \sum\limits_{i= 1}^{n_{1} }\left(X_{i}-\mu_{1}\right)^{2} / n_{1} }{\frac{1}{\sigma_{2}^{2} } \sum\limits_{i = 1}^{n_{2} }\left(Y_{i}-\mu_{2}\right)^{2} / n_{2} } = \frac{\sum\limits_{i = 1}^{n_{1} }\left(X_{i}-\mu_{1}\right)^{2} /\left(n_{1} \sigma_{1}^{2}\right)}{\sum\limits_{i = 1}^{n_{2} }\left(Y_{i}-\mu_{2}\right)^{2} /\left(n_{2} \sigma_{2}^{2}\right)} \sim F\left(n_{1}, n_{2}\right), \nonumber\\ &{\color{Blue} \frac{S_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2} } {S_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2} } \sim F\left(n_{1}-1, n_{2}-1\right)} ;\nonumber \\ \nonumber\\ &(3) 若 \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} = \sigma^{2} , 则有\nonumber\\ &T = \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{S_{W} \sqrt{\frac{1}{n_{1} }+\frac{1}{n_{2} } } } \sim t\left(n_{1}+n_{2}-2\right), \nonumber \\ &其中S_{W}^{2} = \frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2} }{n_{1}+n_{2}-2} .\nonumber\\ \nonumber \end{align}$$

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四、区间估计

估$\mathbf{\mu}$:

• $\sigma^2$已知：

  $${\color{Blue} \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n} } \sim N(0,1)}$$

• $\sigma^2$未知

  $${\color{Blue} \frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n} } \sim t(n-1)}$$

估$\mathbf{\sigma^2}$:

• $\mu$已知

  $$\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)$$

• $\mu$未知

$$\frac{(n-1) S^{2} }{\sigma^{2} } \sim \chi^{2}(n-1)$$

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考点

各章考点题型和解法

▷ 第一章 随机事件及概率

只有小题

• 题型一 事件的关系和运算（5分 常考）

直接法：吸收律、分配率、对偶律、图形法（文氏图）

间接法：举特例（空集，全集）

看到逆，先想德摩根律

概率推事件，直接打叉

• 题型二 概率的性质与计算（！！！5分 常考！！！）

加法公式：重点记一下三个的$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)$

减法公式

★条件概率：直接写公式，计算 + 对比
(结合独立性来考)

间接法（算别的来扣）

注意活用吸收律

全概率/贝叶斯：画图

古典概型（列举）、几何概型

• 题型三 独立性（5分 常考）

判断：$P(AB) = P(A)P(B)$，条件对结果无影响$P(A|B)=P(A|\overline{B})=P(A)$、反例（互斥、包含）

应用：伯努利概型（“恰好”，“刚好”，“才”，"直到"指的是最后一次才发生）、相互独立、两两独立

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▷ 第二章 一维随机变量及其分布

可以考大题 2023

• 题型一 分布函数的概念和性质

判断分布函数：单调性、规范性、右连续

求分布函数：关键点，左闭右开，累积性

• 题型二 离散型随机变量

分布函数的阶梯型（5分）。（泊松，几何）

先化成常规形式$P\{x\le …\}$，再套原来的$F(x)$

考泊松分布，会和级数相结合来考

二项分布的概率最大值怎么求？就是找到比前一项大，也比后一项大的某一项，这一项就是最大值

• 题型三 连续型随机变量

概率密度：非负性、规范性

正态分布（5分）：

正态分布特征：x负无穷到正无穷，指数有平方，然后化成正态分布常规形式（配方、除系数、添因子）

正态分布标准化：$\frac{X-\mu}{\sigma}$，然后用对称性

正态分布比较概率题：先标准化，再数形结合

• 题型四 求一维随机变量函数的分布函数（12分）

连续型，知道概率密度，求分布函数：

就用定义法：
① 画图$Y=g(X)$；
② 找关键点($y$分段，左闭右开)；
③ 计算$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le h(y)\}\;\;(x=h(y))$

如上图，在$y\in[1,3)$上，$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{1<X\le y\}+P\{X\ge3\}$
红线是辅助线

两个随机变量（左边一个，右边一个）：合二为一（合到左边）

tips：这个题左闭右开，左端点没定义怎么办，一样写，因为是求积分，那么左端点就是反常积分，也是可以写端点的

期望$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$

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▷ 第三章 多维随机变量及其分布

地位在下降，不如上一章

内容如下：

• 二维分布：$F(X,Y)=P\{X\le x,Y\le y\}$
• 离散型：分布表 $^{\to 边缘☆\to条件}_{\to 独立性}$
• 连续型：联合密度函数$f(x,y)^{\to 边缘\to条件☆}_{\to 独立性}$
• 独立性（2023 考了5分）
• 二维正态分布★（2022 考了5分）
• 函数的分布：离散离散，连续连续（卷积多年没考过），离散连续（可能12分大题）

tips：不知道怎么写了，就画画图，从定义入手

• 题型一 二维分布函数的概念与性质

联合分布：$F(X,Y)=P\{X\le x,Y\le y\}$，结合图像来做

离散型(X,Y)有关的分布的计算：关键就是联合分布表（1.确定尺寸m*n，2.约束条件，3.求$P_{ij}$，4.验算概率和为1）

条件概率密度：公式展开来算

连续型边缘概率密度计算： 注意边界，说实话就是照着二重划线法来

二维正态分布：老办法：配方、除系数、添因子（对y积分就配y）；然后积分是1，外面就是结果【视频2:30处】

• 题型二 独立性

离散型:

• 一般不独立（分布表中有0的情况）
• 独立，那么边缘*边缘$\Rightarrow$联合

连续型:

• 一般不独立：独立，那么区域肯定是矩形（但是整个坐标平面可以看出矩形）
  说明它不独立，可以写出两个边缘函数（用抽象函数表示即可），然后说显然不成立，因为乘完区间是矩形，区间不相等
• 独立，那么边缘*边缘$\Rightarrow$联合，二重积分拆成一重积分

一般不独立，证明就举反例；（目前还没有证独立成立的）
独立则严格证明

例如证明U和X是否独立，举个例子，然后代独立的公式

• 题型三 离散型随机变量函数的分布

$z=(x_i,y_j)$，相同的$z$的概率相加 —— 列举法，先列出变量的值，再把相同的加起来形成

• 题型四 连续型随机变量函数的分布

卷积公式只处理简单的时候方便（$X+Y、XY、\frac XY$），“除了卷积，没有直接求概率密度的”
但是简单的最好用卷积公式（需要注意的就是区间问题，分类讨论，联立联立加联立）

定义法，再求导（本质上就是找积分区域，再积分，概率密度是被积函数）

概率密度能拆开$f(x)g(y)$，可以累次积分变成两个一重相乘

概率密度能拆开$f(x)g(y)$，并且又是矩形区域，可以直接拆成两个边缘函数

知道概率密度怎么求分布函数，用定义法，然后分类讨论（880 p84(5)）

• 题型五 离散连续型随机变量的分布

离散型代入分开算，简化，找关键点（即区间问题）

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▷ 第四章 随机变量的数字特征

考小题5分，也可能大题的一小问

tips：简单随机样本 $\to$ 独立同分布

tips：数字特征这块，少用定义，多用性质

tips：这块算积分注意奇偶性，难算的基本上肯定是用了这个化简

• 题型一 期望与方差

不知道怎么写，就先把定义写出来看看

可以用无穷级数，但是计算量太大了，没必要；应该少用定义，多用性质

“曹冲称象”：大象我不会，但是我可以称石头；所以就是要转换，然后去套性质

易错点：密度相加（$f_1(y_1)+f_2(y_2)$）没有性质，只有定义

tips待确定：期望和方差可用$\mu,\sigma$简化表示

处理绝对值：用定义

• 题型二 协方差和相关系数

主要用性质，别急着算

注意拆：$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$

看到具体值的相关系数，先无脑写出协方差

求相关系数的题，就是求协方差

看到二维正态分布，想到降维打击；
先配出一个积分，再处理另一个（后期可以回来看一下这几题，好像都没题），看到正态分布基本不可能是算的，除非是$\int xe^{x^2}dx$，只见过这种拿去算

对于$E_{XY}$，$X$、$Y$一个离散一个连续，处理方法就是用题目条件拆开算，例如独立

• 题型三 独立性！不相关性！ （可以出大题）

看到不相关，无脑写协方差，不用考虑别的

• 二维正态中，独立就是不相关;
• 不相关可以通过计算得出独立
• 不相关可以通过反例证明不独立

$X_1=f(A_1),X_2=f(A_2)$，$A_1、A_2$独立，那么$X_1、X_2$也独立

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▷ 第五章 大数定律与中心极限定理

5分小题

2022 数一 切比雪夫；数三 大数定律

2023 数一 中心极限定理

总结：

• 大数定律 —— 依概率收敛与期望
• 中心极限定理 —— 标准化

• 题型一 切比雪夫不等式

多维随机变量（或奇奇怪怪） —— 降维，算期望，方差

• 题型二 大数定律

看到依概率收敛，立即大数定律$\to$期望

三个不同之处：

• 切比雪夫大数定律：①期望方差存在 ②方差有上界
• 辛钦大数定律：①同分布 ②期望相同
  • 伯努利大数定律：①同分布 ②都服从0-1分布

经典错误选项：服从同一离散型分布、服从同一连续型分布（期望方差不一定存在）

• 题型三 中心极限定理

经典错误选项：服从同一离散型分布、服从同一连续型分布（期望方差不一定存在）

三个字 —— “标准化”

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▷ 第六章 数理统计的基本概念

5分小题为主

• 统计量☆：
  • $\overline x=\frac{1}{n}\sum x_i$
    • $E\overline x=\mu$
    • $D\overline x=\sigma^2$
  • $S^2=\frac1{n-1}\sum(x_i-\overline x)^2$
    • $ES^2=\sigma^2$
• 分布：$\chi ^2(n)、t(n)、F(m,n)$
• 正态统计量的分布☆：单个、两个

• 题型一 统计量的数字特征

拆开，然后套数字特征的性质

独立性

• 题型二 抽样分布

易错点：$(X_1+X_2)^2$，这算一个平方

$\chi^2$的题就是 “标准化”

• 题型三 正态统计量的分布

单个总体：t和F的自由度弱化

总之就是看上面总结的。

或者按定义来，$\chi^2$就是平方相加，$t$就是 正态 除以 $\chi^2$，$F$就是 $\chi^2$ 除以 $\chi^2$

正态分布，不相关=独立

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▷ 第七章 参数估计

• 题型一 点估计，估计量评选标准

矩估计：
① 算总体期望
② 计算总体期望=原点矩（一阶就是均值99%）

一阶求不出来一个参数，那就算二阶的

两个参数的注意下

最大似然估计：
① 写出$L(\theta)$
② 计算$\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta}=0$（无解，就是单调函数，取边界）

特例：880 p96 （12）

算出来答案中的$X_i$记得是大写

常考模式：先算估计值，再让你算估计值的期望和方差

一致性 就是用 大数定律依概率收敛

什么是无偏估计修正？算出来的估计值凑成$\theta$即可，eg: $\hat\theta_1=\theta+c\to\hat\theta_2=\hat\theta_1-c$ 880 p97 (2)

• 题型二 区间估计

构造正态总体的区间估计(讲究对称性)

1. 确定正态总体T所服从的分布（4种）

2. 依据1中分布确定置信区间（画图）

   

   

3. 将T代入2

4. 计算获得置信区间

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▷ 第八章 假设检验

• 题型一 假设检验

1. 写出原假设（eg: $\mu=120$），备择假设（eg: $\mu\ne120$） ★

2. 找出统计量T

3. 画图，找拒绝域三种如下

4. 统计量T落在拒绝域内，拒绝原假设；否则接受原假设

例如：
备选假设$\mu<120$ —— “小于 左侧”

备选假设$\mu>120$ —— “小于 右侧”

备选假设$\mu\ne120$ —— “不等于 双侧”

• 题型二 两类错误

弃真 —— 拒绝域 $P\{拒绝域成立|H_0真\}$

存伪 —— 接受域 $P\{接受域成立|H_0假\}$